યાંત્રિક ઊર્જા - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો
1. બ્લોક અને ફ્લોર વચ્ચે ગતિ ઘર્ષણનો ગુણાંક ( μk ) 0.5 છે. પદાર્થ(ઓ) નું વિસ્થાપન કેટલું છે ? ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ 10 m/s 2 છે.
જાણીતા:
ગતિ ઘર્ષણનો ગુણાંક (μ k ) = 0.5
બ્લોકનું દળ (મી) = 4 કિલો
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) 10 m/s છે 2
બ્લોકનું વજન (w) = mg = (4)(10) = 40 ન્યૂટન
જો આડી સમતલ પર બ્લોક હોય તો સામાન્ય બળ (N) = વજન (w) = 40 ન્યૂટન.
જો આડી સમતલ પર બ્લોક હોય તો સામાન્ય બળ (N) = વજન (w) = 40 ન્યૂટન.
પ્રારંભિક વેગ (v 1 ) = 5 m/s
અંતિમ વેગ (v 2 ) = 0 m/s
જોઈએ છે: વસ્તુનું વિસ્થાપન (d)?
ઉકેલો:
કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા સિદ્ધાંત જણાવે છે કે બિન-સંરક્ષિત બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય (W) એ પદાર્થની યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર સમાન છે. યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર = અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા - પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા.
ગતિ ઘર્ષણ બળ એ બિન-રૂઢિચુસ્ત બળોમાંનું એક છે અને બ્લોક પર કાર્ય કરતું એકમાત્ર બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ છે.
ડબલ્યુ = ΔME
f k d = ME 2 – ME 1
ગતિ ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય:
W = f k d = (μ k )(N)(d) = (0.5)(40)(d) = 20 d
યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર:
ΔME = ME 2 – ME 1 = (KE + PE) 2 – (KE + PE) 1
પદાર્થ આડી સપાટી પર ફરે છે અને ઊંચાઈમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી (Δh = 0) તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી (ΔPE = PE 2 – PE 1 = 0). આમ યાંત્રિક ઊર્જાના ફેરફારમાં ફક્ત ગતિ ઊર્જાનો ફેરફાર શામેલ છે.
ΔME = KE 2 – KE 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2 = ½ m (v 2 2 – v 1 2 )
Δ M E = ½ (4)(0 2 – 5 2 ) = (2)(25) = 50
બ્લોકનું વિસ્થાપન:
ડબલ્યુ = ΔME
20 સેકન્ડ = 50
સે = 50 / 20
s = 2.5 મીટર
યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત
2. પદાર્થ A અને પદાર્થ B નું દળ સમાન છે. પદાર્થ A h મીટરની ઊંચાઈથી મુક્ત રીતે પડે છે અને પદાર્થ B 2 કલાક મીટરની ઊંચાઈથી મુક્ત રીતે પડે છે. જો પદાર્થ A vm/s ની ઝડપે જમીન પર અથડાવે છે, તો પદાર્થ B જમીન પર અથડાતી વખતે તેની ગતિ ઊર્જા કેટલી હશે?
ઉકેલો:
2 કલાકની ઊંચાઈથી મુક્ત પડવા પર પદાર્થ B નો અંતિમ વેગ:
v 2 = 2 ગ્રામ (2 કલાક) = 4 ઘનમીટર
પદાર્થ B ની ગતિ ઊર્જા:
TO B = ½ mv 2 = ½ m (4 gh) = 2 mgh —– સમીકરણ 1
પદાર્થ B ની પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા = ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા = mg h.
પદાર્થ B ની અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા = ગતિ ઊર્જા = ½ mv 2.
યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત:
mgh = ½ mv 2
કારણ કે mgh = ½ mv 2 , તો આપણે સમીકરણ 1 માં mgh ને ½ mv 2 સાથે બદલી શકીએ છીએ.
પદાર્થ B ની ગતિ ઊર્જા = 2 mgh = 2(½ mv 2 ) = mv 2
૩. ૨૦ મીટરની ઊંચાઈથી મુક્ત પતન કરતી વસ્તુ. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ૧૦ મીટર/સેકન્ડ છે. જમીનથી ૧૫ મીટર ઉપર વસ્તુનો વેગ કેટલો છે?
ઉકેલો:
અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા = પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા
બિંદુ 2 પર ગતિ ઊર્જા = ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જામાં 5 મીટર સુધીનો ફેરફાર.
4. સરળ ઢાળવાળા સમતલની ટોચ પરથી એક બ્લોક છૂટો પડે છે. જ્યારે બ્લોક જમીન પર અથડાશે ત્યારે તેનો વેગ કેટલો હશે?
ઉકેલો:
પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા = ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા = mgh = m (10)(5) = 50 મીટર
અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા = ગતિ ઊર્જા = 1/2 mv 2
યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા = અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા.
ME o = ME t
૫૦ મીટર = ૧/૨ મીટરવ ૨
૫૦ = ૧/૨ વિરુદ્ધ ૨
૨ (૫૦) = વિરુદ્ધ ૨
૧૦૦ = વિરુદ્ધ ૨
v = 10 મીટર/સેકન્ડ
5.
નીચે આપેલી આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, જમીનથી h મીટરની ઊંચાઈએથી છૂટા પડેલા m-kg દળવાળા બ્લોક. બિંદુ M પર સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જા (KE) નો ગુણોત્તર નક્કી કરો.
ઉકેલો:
બિંદુ M પર ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા:
PE M = મિલિગ્રામ (0.3 કલાક)
બિંદુ m પર ગતિ ઊર્જા = ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જામાં h-0.3h = 0.7 h સુધીનો ફેરફાર
KE M = PE = મિલિગ્રામ (0.7 કલાક)
બિંદુ M પર ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
પીઈ એમ : કેઈ એમ
મિલિગ્રામ (0.3 કલાક): મિલિગ્રામ (0.7 કલાક)
0.3: 0.7
3: 7
6. જો PE Q અને KE Q બિંદુ Q પર સ્થિતિમાન ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જા ધરાવે છે (g = 10 m/s 2 ), તો PE Q : KE Q =…
ઉકેલો:
બિંદુ Q પર ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા:
PE Q = mgh = (m)(10)(1.8) = 18 મીટર
બિંદુ Q પર ગતિ ઊર્જા = ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જામાં 5-1.8 = 3.2 મીટર સુધીનો ફેરફાર
TO Q = PE = mgh = m (10)(3.2) = 32 મીટર
બિંદુ Q પર ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
PE Q : KE Q
૫૦ મીટર : ૨૦૦ મીટર
18: 32
9: 16
- યાંત્રિક ઊર્જા શું છે? જવાબ: યાંત્રિક ઊર્જા એ કોઈ પણ તંત્રમાં સ્થિત ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે. તે કોઈ પણ પદાર્થની ગતિ અને સ્થિતિ સાથે સંકળાયેલ કુલ ઊર્જાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
- ગતિ ઊર્જા સ્થિતિજ ઊર્જાથી કેવી રીતે અલગ છે? જવાબ: ગતિ ઊર્જા એ ગતિની ઊર્જા છે, જ્યારે સ્થિતિ ઊર્જા એ પદાર્થની સ્થિતિ અથવા ગોઠવણીને કારણે સંગ્રહિત ઊર્જા છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગતિશીલ કારમાં ગતિ ઊર્જા હોય છે, જ્યારે ખેંચાયેલા સ્પ્રિંગ અથવા ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં ઊંચાઈ પરના પદાર્થમાં સ્થિતિ ઊર્જા હોય છે.
- શું યાંત્રિક ઊર્જા હંમેશા સચવાય છે? જવાબ: એક આદર્શ, બંધ પ્રણાલીમાં જેમાં કોઈ બાહ્ય બળ નથી, યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. જો કે, વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓમાં, ઘર્ષણ અથવા અન્ય બિન-રૂઢિચુસ્ત બળોને કારણે ઉષ્મા અથવા ધ્વનિ ઊર્જા જેવા અન્ય સ્વરૂપો કાર્યમાં આવી શકે છે, જેના કારણે કુલ યાંત્રિક ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
- યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં કેવી રીતે મદદ કરે છે? જવાબ: જ્યારે કોઈ સિસ્ટમમાં યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે (ઘર્ષણ જેવા બિન-રૂઢિચુસ્ત બળો નથી), ત્યારે શરૂઆતમાં કુલ ઉર્જા અંતમાં કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે. આ સિદ્ધાંત આપણને સમયના વિવિધ બિંદુઓ પર સંભવિત અને ગતિ ઊર્જાને સાંકળવાની મંજૂરી આપે છે, જે સમસ્યાનું નિરાકરણ પ્રક્રિયાને સરળ બનાવે છે.
- જ્યારે બોલ ઉપર ફેંકવામાં આવે છે અને નીચે ઉતરતા પહેલા ક્ષણિક રીતે બંધ થાય છે ત્યારે તેની યાંત્રિક ઊર્જાનું શું થાય છે? જવાબ: જેમ જેમ બોલ ઉપર ચઢે છે, તેમ તેમ તેની ગતિ ઊર્જા ઘટે છે જ્યારે તેની સ્થિતિમાન ઊર્જા વધે છે. ટોચ પર, તેની બધી યાંત્રિક ઊર્જા સ્થિતિમાન ઊર્જા હોય છે. જેમ જેમ તે નીચે ઉતરે છે, તેમ તેમ આ પ્રક્રિયા ઉલટી થાય છે. હવાના પ્રતિકાર વિનાના આદર્શ દૃશ્યમાં, બોલની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા તેની સમગ્ર સફર દરમિયાન સ્થિર રહે છે.
- શું કોઈ પદાર્થમાં એક જ સમયે ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જા બંને હોઈ શકે છે? જવાબ: હા, કોઈ પણ પદાર્થ એકસાથે બંને પ્રકારની ઊર્જા ધરાવી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેના ઝોલાના મધ્યબિંદુ પર એક લોલક તેની ગતિને કારણે ગતિ ઊર્જા અને તેના સૌથી નીચા બિંદુથી ઊંચાઈને કારણે સ્થિતિ ઊર્જા ધરાવે છે.
- રોલર કોસ્ટર યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણને કેવી રીતે દર્શાવે છે? જવાબ: રોલર કોસ્ટર તેના ઉચ્ચતમ બિંદુએ સ્થિતિમાન ઊર્જાથી શરૂ થાય છે. જેમ જેમ તે નીચે ઉતરે છે, આ સ્થિતિમાન ઊર્જા ગતિમાન ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે, જેના કારણે કોસ્ટરની ગતિ વધે છે. જેમ જેમ તે ફરીથી ચઢે છે, ગતિમાન ઊર્જા ઘટે છે જ્યારે સ્થિતિમાન ઊર્જા વધે છે. ઘર્ષણ અને હવાના પ્રતિકારને અવગણીને, કુલ યાંત્રિક ઊર્જા લગભગ સ્થિર રહે છે.
- વાસ્તવિક દુનિયાની સિસ્ટમોમાં કયા પરિબળો યાંત્રિક ઊર્જાના નુકસાન તરફ દોરી શકે છે? જવાબ: ઘર્ષણ, હવા પ્રતિકાર અને ધ્વનિ ઉત્પન્ન એ કેટલાક પરિબળો છે જે વાસ્તવિક દુનિયાની સિસ્ટમોમાં ઊર્જાના નુકસાન તરફ દોરી શકે છે. ઊર્જાનો નાશ થતો નથી (ઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમને કારણે) પરંતુ તે ગરમી અથવા ધ્વનિ જેવા અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
- કાર્ય અને યાંત્રિક ઊર્જા વચ્ચે શું સંબંધ છે? જવાબ: બાહ્ય દળો દ્વારા સિસ્ટમ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય સિસ્ટમની યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર તરફ દોરી શકે છે. ગાણિતિક દ્રષ્ટિએ, કાર્ય યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર સમાન છે.
-
જો ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા સંદર્ભ બિંદુની સાપેક્ષમાં હોય, તો આપણે તેમાં થતા ફેરફારોને કેવી રીતે સતત માપી શકીએ? જવાબ : જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય ખરેખર સંદર્ભ બિંદુની પસંદગી પર આધારિત છે, ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફારો (જેમ કે જ્યારે કોઈ વસ્તુને ઉંચી અથવા નીચે કરવામાં આવે છે) સંદર્ભને ધ્યાનમાં લીધા વિના સુસંગત રહે છે. આમ, આપણે ઘણીવાર નિરપેક્ષ મૂલ્યોને બદલે સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફારો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ છીએ.
