કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા સિદ્ધાંત - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

1. 2 કિલો વજનનો બોક્સ 10 મીટર/સેકન્ડથી આરામ કરવા માટે ધીમો પડે છે. ગતિ ઘર્ષણ 0.2 છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગક ૧૦ મી/સેકન્ડ છે². નું મૂલ્ય શું છે? ડિસ્પ્લેસમેન્ટ?

જાણીતું;

માસ (મી) = ૫૦ કિલો

પ્રારંભિક વેગ (v_o) = ૫૦ મી/સેકન્ડ

અંતિમ વેગ (v_t) = ૫૦ મી/સેકન્ડ

ગતિ ઘર્ષણનો ગુણાંક (μ_k) = 0.2

વજન (w) = mg = (1 kg)(10 m/s)²) = 10 કિગ્રા મી/સેકન્ડ² = 10 એન

જોઈતું હતું: વિસ્થાપનનું મૂલ્ય (d)

ઉકેલો:

કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા સિદ્ધાંત :

W_nc = ΔEM

W_nc = ΔEK + ΔEP

W_nc = ½ મીટર (v_t² - વી_o²) + એમજીએચ

W_nc = કામ ના દ્વારા થયેલું બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ વસ્તુ પર કાર્ય કરીને

ΔEK = માં ફેરફાર ગતિશીલ ઊર્જા

ΔEP = માં ફેરફાર સંભવિત ઉર્જા

m = દળ

v = વેગ

g = ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ

h = ઊંચાઈમાં ફેરફાર

ઊંચાઈ h = 0 માં ફેરફાર, તેથી ΔEP = 0

W_nc = ΔEK

બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય:

W_nc = -એફ_c ડી = – μ_k એન ડી = – μ_k ડબલ્યુડી = – μ_k એમજીડી

W_nc = -(0.2)(2)(10)(ઓ)

W_nc = – (૪)(૨)

ઓછા ચિહ્ન સૂચવે છે કે ગતિ ઘર્ષણ બળની દિશા વિસ્થાપનની દિશાની વિરુદ્ધ છે.

ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર:

ΔEK = ½ મીટર (v_t² - વી_o²) = ½ (2)(0 – 10²) = ૦ – ૧૦૦ = -૧૦૦

વિસ્થાપનનું મૂલ્ય:

W_nc = ΔEK

– ૪ સેકન્ડ = – ૧૦૦

સે = -100/-4

s = 25 મીટર

2. એક બ્લોક ઢાળવાળા સમતલ પર નીચે સરકે છે. ગતિ ઘર્ષણનો ગુણાંક 0.4 છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ g = 10 મિલીસેકન્ડ^-2. બ્લોક જમીન પર અથડાશે ત્યારે અંતિમ વેગ નક્કી કરો.

જાણીતા:

પ્રારંભિક ઊંચાઈ (h_o) = 6 મી

અંતિમ ઊંચાઈ (h_t) = 0 મી

પ્રારંભિક વેગ (v_o) = 0

ગતિ ઘર્ષણનો ગુણાંક (μ_k) = 0.4

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms^-2

કોસ θ = 8 / 10

વજનનો ઊભી ઘટક = w_y = ડબલ્યુ કોસ θ = મિલિગ્રામ કોસ θ = મીટર (10)(૮/૧૦) = મીટર (૧૦)(૪/૫) = મીટર (૪૦/૫) = ૮ મીટર

સામાન્ય બળ = N = w_y = 8 એમ

ગતિ ઘર્ષણ બળ = f_k = μ_k એન = μ_k w_y = (0.4)(8 મીટર) = 3.2 મીટર

જોઈતું હતું: અંતિમ વેગ (v_t)

ઉકેલો:

કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા સિદ્ધાંત:

W_nc = ΔEM

W_nc = Δઇકે + ΔEP

ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર:

ΔEK = 1/2 મીટર (v_t² - વી_o²) = ૧/૨ મીટર (v_t² - 0) = ૧/૨ મીટર વોટ_t²

સંભવિત ઊર્જામાં ફેરફાર:

ΔEP = મિલિગ્રામ (h_t - એચ_o) = મીટર (10)(0-6) = મીટર (10)(-6) = – 60 મીટર

ગતિ ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય:

W_nc = – એફ_k s = – (૩.૨ મીટર)(૧૦) = – ૩૨ મીટર

ઓછા ચિહ્ન સૂચવે છે કે ગતિ ઘર્ષણ બળની દિશા વિસ્થાપનની દિશાની વિરુદ્ધ છે.

અંતિમ વેગ (v_t):

W_nc = Δઇકે + ΔEP

- 32 મી = ૧/૨ એમવી_t² - 60 મી

- 32 મી = મીટર (૧/૨ વી_t² - 60)

- 32 = ૧/૨ વિ_t² - 60

– ૩૨ + ૬૦ = ૧/૨ વિ_t²

૨૮ = ૧/૨ વિ_t²

૨ (૨૮) = વી_t²

56 = વિ_t²

v_t = √4.14

v_t = 2√૧૪ મિલીસેકન્ડ^-1

3. એક બ્લોક ખરબચડા ઢાળવાળા સમતલ પર નીચે સરકે છે. પ્રારંભિક વેગ 0 m/s છે અને અંતિમ વેગ 0 છે 10 મિ.એસ.^-1. જો ગતિ ઘર્ષણ બળ 2 N હોય અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ g = 10 ms હોય તો^-2, ઊંચાઈ (h) શું છે?

જાણીતા:

દળ (મી) = 1 કિલો

પ્રારંભિક વેગ (v_o) = 0 (બ્લોક રેસ્ટ)

અંતિમ વેગ (v_t) = ૧૦ મિલીસેકન્ડ^-1

પ્રારંભિક ઊંચાઈ (h_o) = ક

અંતિમ ઊંચાઈ (h_t) = 0

ગતિ ઘર્ષણ બળ (f_k) = 2 નાઈટ્રોજન

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms^-2

જોઈતું હતું: ઊંચાઈ (h)

ઉકેલો:

ગતિ ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય:

W_nc = – એફ_k s = – (2))(૧૫) = – ૩૦

ઓછા ચિહ્ન સૂચવે છે કે ગતિ ઘર્ષણ બળની દિશા વિસ્થાપનની દિશાની વિરુદ્ધ છે.

ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર:

ΔEK = 1/2 મીટર (v_t² - વી_o²) = ૧/૨ (૧)(10² - 0) = ૧/૨ (10²) = ૧/૨ (100) = 50

સંભવિત ઊર્જામાં ફેરફાર:

ΔEP = મિલિગ્રામ (h_t - એચ_o) = (1)(10)(0-ક) = (10)(-ક) = -10 ક

કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા સિદ્ધાંત:

W_nc = Δઇકે + ΔEP

– ૩૦ = ૫૦ – ૧૦ કલાક

૧૦ કલાક = ૫૦ + ૩૦

૧૦ કલાક = ૮૦

ક = ૧/૨

h = 8m

4. જો કોઈ બ્લોક લગભગ ઢાળવાળા સમતલ નીચે ખસે છે, તો….
A. બ્લોક પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય બ્લોકની સ્થિતિજ ઊર્જાના પરિવર્તન કરતા વધારે છે.
B. યાંત્રિક ઊર્જા વધે છે
C. ગતિ ઊર્જા અને તેની સ્થિતિ ઊર્જાનું પ્રમાણ ઘટે છે
D. કાર્ય બ્લોકની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર જેટલા ઘર્ષણ બળ દ્વારા થાય છે.
ઉકેલ

A ખોટું છે.

બ્લોક પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય બ્લોકની ગુરુત્વાકર્ષણ સંભવિત ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું જ છે.

B ખોટું છે.

જો માંcરેખાવાળા સમતલ સુંવાળા હોય ત્યારે બ્લોકની યાંત્રિક ઉર્જા સ્થિર રહે છે. જ્યારે ઝોકવાળા સમતલની ટોચ પર હોય અને હજુ સુધી ગતિ ન કરે, ત્યારે બ્લોકની યાંત્રિક ઉર્જા ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન ઉર્જા જેટલી હોય છે. બ્લોક હજુ પણ સ્થિર હોય છે તેથી તેની ગતિ ઊર્જા શૂન્ય હોય છે. ઝોકવાળા સમતલ નીચે ખસતી વખતે, બ્લોકની ઊંચાઈ ઓછી થાય છે તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન ઉર્જા પણ ઓછી થાય છે. ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન ઉર્જા ઘટે છે કારણ કે તે ગતિ ઊર્જામાં બદલાય છે. ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન ઉર્જા ગતિ ઊર્જામાં બદલાય છે, તેમ છતાં યાંત્રિક ઉર્જા સ્થિર રહે છે.

જો ઢાળવાળી સપાટી ખરબચડી હોય, તો ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવતા નકારાત્મક કાર્યને કારણે બ્લોકની યાંત્રિક ઊર્જા ઘટે છે. ઘર્ષણ બળ એક બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ છે. કોઈ પદાર્થ પર બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવતા કાર્યથી પદાર્થની યાંત્રિક ઊર્જા ઘટે છે.

C સાચું છે.

ઢાળવાળી સપાટી ખરબચડી હોય છે તેથી ઘર્ષણ બળ હોય છે જે બ્લોકની ગતિને પડકારે છે. ઘર્ષણ બળ એક બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ છે. કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા પ્રમેય જણાવે છે કે બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ (ઉદાહરણ તરીકે ઘર્ષણ બળ) દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય યાંત્રિક ઊર્જાના પરિવર્તન જેટલું જ છે. આ શોધમાં, યાંત્રિક ઊર્જા ઘટી રહી છે.

બ્લોકની યાંત્રિક ઊર્જા = ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા + ગતિ ઊર્જા.

ડી ખોટું છે.

બ્લોક પર ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય બ્લોકની યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર જેટલું જ છે, બ્લોકની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર જેટલું નહીં. સાચું છે કે ઘર્ષણ બળ બ્લોકની ગતિને પડકારે છે તેથી તે બ્લોકની ગતિ ઘટાડે છે અને બ્લોકની ગતિ ઊર્જા ઘટાડે છે. પરંતુ ધ્યાનમાં રાખો કે બ્લોકની ગતિ ઊર્જા ગુરુત્વાકર્ષણ સંભવિત ઊર્જામાંથી આવે છે. તેથી એ વાત સાચી છે કે કાર્ય યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર (યાંત્રિક ઊર્જા ઘટે છે) જેટલા ઘર્ષણ બળ દ્વારા થાય છે.

સાચો જવાબ સી છે.

5. ખરબચડી ફ્લોર પર કોઈ વસ્તુ અથડાય છે તેથી તે 3 સેકન્ડ માટે ખસે છે અને પછી અટકી જાય છે. જો વસ્તુનું જાણીતું દળ 10 ગ્રામ હોય, તો વસ્તુ અને ફ્લોર વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ 2 કિલોડાઇન છે. ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય નક્કી કરો.

A. 0.18 જે

બી. -0.18 જે

સી. ૦.૩૬ જે

ડી. -0.36 જે

જાણીતા:

સમય અંતરાલ (t) = 3 સેકન્ડ

અંતિમ ગતિ (v_t) = 0 મી/સેકન્ડ (વસ્તુ આરામ કરે છે)

પદાર્થનું દળ (મી) = 10 ગ્રામ = 10/1000 કિગ્રા = 1/100 કિગ્રા = 0.01 કિગ્રા

ઘર્ષણ બળ (F) = 2 કિલોડાઇન = 2 x 10³ ડાયેન

જોઈતું હતું: કાર્ય (W) ઘર્ષણ બળ દ્વારા થાય છે

ઉકેલો:

બળના એકમોનું રૂપાંતર:

૧ ન્યૂટન = ૧ x ૧૦⁵ ડાયેન

૧ ડાયન = ૧ / ૧૦⁵ ન્યૂટન = ૧ x ૧૦^-5 ન્યૂટન = ૧૦^-5 ન્યૂટન

ઘર્ષણ બળ (F) = 2 x 10³ ડાયન = 2 x 10³ x 10^-5 ન્યૂટન = ૧ x ૧૦^-2 ન્યૂટન = 2/100 ન્યૂટન = 0.02 ન્યૂટન

કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા પ્રમેય જણાવે છે કે કાર્ય પદાર્થ પર બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવે છે જે પદાર્થની યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર જેટલું હોય છે.

જો કોઈ પદાર્થ વલણવાળા સમતલ પર ગતિ કરે છે, તો યાંત્રિક ઊર્જા (ME) = ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા (PE) + ગતિ ઊર્જા (KE). પરંતુ જો પદાર્થ ફક્ત આડી સમતલ પર ગતિ કરે છે જેથી ઊંચાઈમાં કોઈ ફેરફાર ન થાય, તો યાંત્રિક ઊર્જા = ગતિ ઊર્જા. આડી સમતલ પર, ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય છે કારણ કે ઊંચાઈમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

ઘર્ષણ બળ એ બિન-સંરક્ષિત બળ છે. ઘર્ષણ બળ સામાન્ય રીતે પદાર્થની ગતિ અને પદાર્થની ગતિ ઊર્જા ઘટાડે છે. શું તમે એવું નિષ્કર્ષ કાઢી શકો છો કે પદાર્થ પર ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય યાંત્રિક ઊર્જાના ઘટાડા જેટલું છે?

ગાણિતિક રીતે:

કાર્ય (W) = યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર (ΔEM)

એફ એસ = ΔEP + ΔEK

F s = mg Δh + ½ m (v_t² - વી_o²)

F s = મિલિગ્રામ (0) + ½ મીટર (0)² - વી_o²)

F s = 0 + ½ m (– (v_o²))

F s = – ½ mv_o² ———— સમીકરણ ૧

વર્ણન: F = ઘર્ષણ બળ, d = વિસ્થાપન, m = દળ, v_o = શરૂઆતની ગતિ

વિસ્થાપન (d) અને પ્રારંભિક ગતિ (v)_o) હજુ સુધી ખબર નથી કારણ કે પહેલા v ની ગણતરી કરો_o અથવા d. જાણીતા v પછીના સમીકરણોમાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરાયેલ ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય_o અથવા ડી.

અસમાન રેખીય ગતિ પર વિસ્થાપન (d) નું સમીકરણ:

v_t² = વી_o² + 2 (-a) સે

અંતિમ ગતિ (v_t) = 0 અને પ્રવેગ (a) ને નકારાત્મક ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે કારણ કે પદાર્થ ધીમો પડી ગયો છે (પદાર્થની ગતિ ઓછી થઈ ગઈ છે).

0 = વિ_o² – 2 જાહેરાતો

v_o² = 2 જાહેરાત

ડી = વી_o² / 2 a ———— સમીકરણ 2

સમીકરણ 2 માં d ને સમીકરણ 1 માં d થી બદલો:

F d = – ½ mv_o²

એફ (વી_o²/2a) = – ½ મીટર વોટ_o²

(F/2a) વિ_o² = – ½ મીટર વોટ_o²

F/2a = – ½ મીટર

F = (2)(a)(-1/2)(m)

F = – (a)(m)

a = – (F / મીટર)

a = – 0.02 ન્યૂટન / 0.01 કિલોગ્રામ

a = – 2 ન્યૂટન/કિલોગ્રામ

a = – 2 મીટર/સેકન્ડ²

પ્રારંભિક ગતિ (v) ગણતરી કરવા માટેનું સમીકરણ_o) અસમાન રેખીય ગતિમાં :

v_t = વી_o + —–> પર અંતિમ ગતિ (v_t) = 0, પ્રવેગ (a) = 2 મીટર/સેકન્ડ², સમય અંતરાલ (t) = 3 સેકન્ડ

0 = વિ_o + (-2)(3)

0 = વિ_o - 6

v_o = ૬ મીટર/સેકન્ડ

ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય (W):

ડબલ્યુ = – ½ મીટર વોટ_o² = -૧/૨ (૦.૦૧)(૬)²) = -૧/૨ (૦.૦૧)(૩૬)

ડબલ્યુ = -1/2 (0.36)

ડબલ્યુ = – 0.18 જૌલ

ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય નકારાત્મક રીતે ચિહ્નિત થયેલ છે જેનો અર્થ એ થાય કે કાર્ય પદાર્થની યાંત્રિક ઊર્જા ઘટાડે છે.

જો d જાણીતું હોય તો કાર્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકે છે ડબલ્યુ = એફ ડી.

સાચો જવાબ B છે.

[wpdm_package id='1178′]

1. બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સમસ્યાઓ અને ઉકેલો
2. કાર્ય-ગતિશીલ ઊર્જા સમસ્યાઓ અને ઉકેલો
3. કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા સિદ્ધાંતો સમસ્યાઓ અને ઉકેલો
4. ગુરુત્વાકર્ષણ સંભવિત ઊર્જા સમસ્યાઓ અને ઉકેલો
5. સ્થિતિસ્થાપક સ્પ્રિંગ સમસ્યાઓ અને ઉકેલોની સંભવિત ઊર્જા
6. વીજળી સમસ્યાઓ અને ઉકેલો
7. મુક્ત પતન ગતિ માટે યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો ઉપયોગ
8. મુક્ત પતન ગતિમાં ઉપર અને નીચે ગતિ માટે યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો ઉપયોગ
9. વક્ર સપાટી પર ગતિ માટે યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો ઉપયોગ
10. ઢાળવાળા સમતલ પર ગતિ માટે યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો ઉપયોગ
11. પ્રક્ષેપણ ગતિ માટે યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો ઉપયોગ