Fórmula de Bernoulli: Principios e aplicacións
O principio de Bernoulli é un concepto fundamental da mecánica de fluídos, descuberto por Daniel Bernoulli, un científico suízo, no século XVIII. Este principio explica a relación entre a velocidade dun fluxo de fluído e a presión dentro dese fluxo. Este artigo analizará en profundidade a fórmula de Bernoulli, os seus conceptos básicos, as derivacións matemáticas, os exemplos de cálculo e as súas aplicacións na vida cotiá.
Comprendendo a fórmula de Bernoulli
A fórmula de Bernoulli afirma que no fluxo de fluído ideal (sen fricción), a cantidade de enerxía mecánica (enerxía potencial, enerxía cinética e presión) por unidade de volume é constante ao longo do fluxo. Esta fórmula exprésase como:
\[ P + \frac{1}{2} ρho v^2 + ρho gh = \text{constante} \]
Onde:
– \(P\) é a presión do fluído (en pascais, Pa),
– \( \rho \) é a densidade do fluído (en quilogramos por metro cúbico, kg/m³),
– \(v \) é a velocidade do fluxo de fluído (en metros por segundo, m/s),
– \(g\) é a aceleración da gravidade (en metros por segundo ao cadrado, m/s²),
– \(h\) é a altura do fluído por riba da referencia (en metros, m).
Principio de Bernoulli
O principio de Bernoulli baséase na lei da conservación da enerxía. No fluxo de fluídos, a enerxía total dun sistema debe permanecer constante se non se lle engade nin se lle retira enerxía. A enerxía total por unidade de volume consiste en:
1. Enerxía de presión (\( P \)): Enerxía causada pola presión do fluído.
2. Enerxía cinética (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): Enerxía causada polo movemento dun fluído.
3. Enerxía potencial gravitatoria (\( \rho gh \)): enerxía causada pola posición dun fluído nun campo gravitatorio.
Derivación matemática da fórmula de Bernoulli
Para comprender a derivación da fórmula de Bernoulli, consideramos un pequeno elemento de fluído que se move nun fluxo cunha velocidade \(v \) desde o punto 1 ata o punto 2. Se asumimos que non hai perda de enerxía debido á fricción ou á calor, a enerxía total nos puntos 1 e 2 debe ser a mesma.
A enerxía total no punto 1 (\(E_1 \)) é:
E_1 = P_1 + \frac{1}{2} ρho v_1^2 + ρho gh_1
A enerxía total no punto 2 (\(E_2 \)) é:
E_2 = P_2 + \frac{1}{2} ρho v_2^2 + ρho gh_2
Dado que a enerxía total debe ser constante:
\[ P_1 + \frac{1}{2} rho v_1^2 + rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} rho v_2^2 + rho gh_2 \]
Isto é o que se coñece como a fórmula de Bernoulli.
Exemplo de cálculo usando a fórmula de Bernoulli
Supoñamos que temos unha tubaxe horizontal con auga que flúe do punto A ao punto B. No punto A, a velocidade da auga é de 2 m/s e a presión é de 150,000 Pa. No punto B, a velocidade da auga é de 4 m/s. A densidade da auga é de 1000 kg/m³. Calcule a presión no punto B.
Usa a fórmula de Bernoulli:
P_A + \frac{1}{2} rho v_A^2 + rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} rho v_B^2 + rho gh_B]
Dado que a tubaxe é horizontal, \( h_A = h_B \), polo que \( \rho gh \) en ambos os puntos pódese desprezar:
\[ P_A + \frac{1}{2} rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} rho v_B^2 \]
Substitúe os valores coñecidos:
\[ 150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Calcula a enerxía cinética en ambos puntos:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[ P_B = 152,000 – 8000 \]
\[ P_B = 144,000 \, \text{Pa} \]
Entón, a presión no punto B é de 144,000 Pa.
Aplicación do principio de Bernoulli
1. Avións: O principio de Bernoulli utilízase no deseño das ás dos avións. A forma dunha á de avión está deseñada para que a velocidade do aire por riba da á sexa maior que por debaixo da á. Isto resulta nunha menor presión por riba da á e unha maior presión por debaixo da á, creando a sustentación que permite que o avión voe.
2. Vehículos de carreiras: O deseño aerodinámico dos vehículos de carreiras utiliza o principio de Bernoulli para aumentar a velocidade e a estabilidade. Os aleróns e difusores utilízanse para regular o fluxo de aire, aumentando a carga aerodinámica, o que mellora a tracción do vehículo na estrada.
3. Fluxo sanguíneo no corpo: o principio de Bernoulli tamén se aplica ao fluxo sanguíneo a través dos vasos sanguíneos. As diferenzas na velocidade e presión do fluxo sanguíneo en diferentes partes do corpo pódense estudar para diagnosticar doenzas.
4. Medidor Venturi: Un dispositivo que se emprega para medir o caudal dun fluído nunha tubaxe. Un medidor Venturi ten unha sección que se estreita, o que provoca un aumento da velocidade do fluxo do fluído e unha diminución da presión de acordo co principio de Bernoulli. A diferenza de presión entre as seccións ancha e estreita utilízase para calcular o caudal.
5. Pulverizadores de perfume: Os pulverizadores de perfume ou pulverizadores de líquido empregan o principio de Bernoulli. Cando se sopra aire a través dun tubo estreito, a presión do aire arredor do extremo do tubo diminúe, o que atrae o líquido do perfume cara arriba a través do tubo e o pulveriza en forma de néboa fina.
Factores que inflúen na aplicación do principio de Bernoulli
1. Fricción: En realidade, os fluídos non son ideais e sempre hai fricción interna (viscosidade) que provoca perda de enerxía. Isto fai que a aplicación do Principio de Bernoulli sexa máis complexa.
2. Compresibilidade de fluídos: o principio de Bernoulli é máis doado de aplicar a fluídos incompresibles (como a auga). Para gases ou fluídos compresibles, a ecuación debe axustarse.
3. Turbulencia: o principio de Bernoulli aplícase ao fluxo laminar (regular). No fluxo turbulento (irregular), a análise complícase máis.
Estudo de caso: Uso do principio de Bernoulli no deseño de ás de avións
O deseño dunha á de avión é un exemplo clásico do Principio de Bernoulli en acción. A forma curva da parte superior e a parte inferior plana da á permiten que o aire flúa máis rápido sobre a á que debaixo dela. Segundo o Principio de Bernoulli, a maior velocidade do fluxo de aire sobre a á produce unha presión menor que debaixo da á. Esta diferenza de presión crea a forza de sustentación que permite que o avión voe.
Supoñamos que un avión ten unha superficie alar de 25 m². A velocidade do aire por riba da á é de 70 m/s, mentres que por debaixo da á é de 50 m/s. A densidade do aire é de 1.225 kg/m³. Calcule a sustentación resultante.
1. Calcula a diferenza de presión (\( \Delta P \)) usando a fórmula de Bernoulli:
\[ P_{inferior} – P_{superior} = \frac{1}{2} rho (v_{superior}^2 – v_{inferior}^2) \]
Substitúe os valores coñecidos:
ΔP = 1/2 × 1.225 × (70² – 50²)
ΔP = 1/2 × 1.225 × (4900 – 2500)
ΔP = 1/2 × 1.225 × 2400
\[ΔP = 1.225 × 1200\]
\[ ΔP = 1470 \, \text{Pa} \]
2. Calcula a forza de sustentación (\( F_{lift} \)):
[F_{elevación} = ΔP × A]
\[ F_{elevación} = 1470 \, \text{Pa} \times 25 \, \text{m}^2 \]
\[ F_{elevación} = 36,750 \, \text{
N} \]
Entón, a forza de sustentación resultante é de 36,750 newtons.
Conclusión
O Principio de Bernoulli é un dos fundamentos da mecánica de fluídos, que explica a relación entre a velocidade do fluxo de fluídos e a presión. Ao comprender e aplicar a fórmula de Bernoulli, podemos analizar e deseñar unha variedade de sistemas que implican o fluxo de fluídos, desde aeronaves ata medidores de caudal. Aínda que na práctica a miúdo temos que considerar factores como a fricción e a turbulencia, o Principio de Bernoulli segue sendo unha ferramenta esencial para comprender a dinámica de fluídos e deseñar solucións de enxeñaría eficientes.
