Chámase ecuación de Poiseuille porque foi descuberta polo falecido Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Como se explicou, todos os fluídos poden considerarse un fluído ideal. Os fluídos ideais non teñen viscosidade. Se imaxinamos un fluído ideal que flúe nunha tubaxe, cada parte do fluído móvese á mesma velocidade (v). A diferenza dos fluídos ideais, os fluídos reais, ou os fluídos que atopamos na vida cotiá, teñen viscosidade. Debido a que teñen viscosidade, cando flúen nunha tubaxe, por exemplo, a velocidade de cada parte do fluído varía. A capa de fluído no medio móvese máis rápido (v é grande), mentres que a capa de fluído unida á tubaxe non se move, é dicir, queda quieta (v = 0). Entón, desde o centro ata o bordo da tubaxe, cada parte do fluído móvese a diferentes velocidades. Para facilitarche a comprensión, observa a imaxe seguinte...
Información:
R = raio do tubo/tubo
v 1 = caudal de fluído no centro/eixe do tubo
v² = caudal de fluído a unha distancia r² desde o bordo do tubo
v3 = caudal de fluído a unha distancia r3 da beira do tubo
v4 = caudal de fluído a unha distancia r4 da beira do tubo
r = distancia
Para garantir que o caudal de cada fluído sexa o mesmo, debe haber unha diferenza de presión en ambos os extremos de calquera tubaxe ou tubo polo que flúa o fluído. Por fluído aquí, referímonos a fluídos reais, como auga ou aceite que flúen por unha tubaxe, sangue que flúe polos vasos sanguíneos, etc. Ademais de axudar a que un fluído real flúa suavemente, as diferenzas de presión tamén poden permitir que os fluídos flúan polas tubaxes a diferentes alturas.
Jean Louis Marie Poiseuille, un antigo científico francés interesado nos aspectos físicos da circulación sanguínea humana, realizou unha investigación para investigar como factores como as diferenzas de presión, a área da sección transversal dun tubo e o tamaño do tubo afectan á velocidade dun fluído real. Os resultados obtidos por Jean Louis Marie Poiseuille coñécense como a ecuación de Poiseuille.
A ecuación de Poiseuille pódese derivar usando a ecuación do coeficiente de viscosidade derivada previamente. Usamos a ecuación de viscosidade porque o caso é similar, aínda que non idéntico. Ao derivar a ecuación do coeficiente de viscosidade, consideramos o fluxo dunha capa de fluído real entre dúas placas paralelas, e o fluído é capaz de moverse debido á forza de tracción (F). A diferenza é que a ecuación de Poiseuille que derivaremos en realidade indica os factores que inflúen no fluxo dun fluído real nunha tubaxe/tubo, e o fluído flúe debido ás diferenzas de presión. Polo tanto, a ecuación do coeficiente de viscosidade debe axustarse de novo.
Os fluídos poden fluír debido a diferenzas de presión (os fluídos flúen de lugares con alta presión a lugares con baixa presión), polo que substituímos F por p1 – p2 ( p1 > p2 ).
Ao derivar a ecuación para o coeficiente de viscosidade, consideramos o fluxo dunha capa de fluído real entre dúas placas paralelas. Cada porción do fluído experimenta unha variación regular de velocidade nunha distancia l. Neste caso, o caudal do fluído cambia regularmente desde o eixe do tubo ata o bordo do tubo. O fluído no eixe do tubo flúe a unha velocidade maior (v). Canto máis se achegue ao bordo, a velocidade do fluído diminúe. O raio do tubo = a distancia entre o eixe do tubo e o bordo do tubo = R. A distancia entre cada porción do fluído e o bordo do tubo = r. Dado que o número de cada porción do fluído é moi grande e a súa distancia desde o bordo do tubo tamén varía, simplemente o escribimos así:
v 1 = velocidade do fluído a unha distancia r1 da beira do tubo (r1 = R)
v² = velocidade do fluído a unha distancia r² da beira do tubo (r² < r¹ )
v3 = velocidade do fluído a unha distancia r3 da beira do tubo (r3 < r2 < r1 )
v 4 = velocidade do fluído a unha distancia r4 da beira do tubo (r4 < r3 < r2 < r1)
……………………………………… ..
vn = velocidade do fluído a unha distancia rn desde o bordo do tubo (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )
O número de cada parte do fluído é moi grande e tampouco sabemos exactamente canta é en realidade, polo que abonda con escribilo co símbolo n. Cada parte do fluído experimenta un cambio de velocidade (v) regularmente, desde o eixe do tubo (r1 = R) ata o bordo do tubo (rn). Desde o eixe do tubo (r1 = R) ata o bordo do tubo (rn), a velocidade de cada parte do fluído diminúe (v1 > v2 > v3 > v4 > … > vn).
Da explicación anterior, podemos obter unha idea de que de R a rn, o caudal do fluído diminúe. A lonxitude da tubaxe = L. A ecuación obtida é:
Dado que o que estamos a considerar é a taxa (v) do fluxo de fluído, a ecuación 2 convértese en:
Esta é a ecuación para o caudal de fluído a unha distancia r dunha tubaxe cun radio R. Se estás confuso ao ver a imaxe de arriba... Ten en conta que o fluído flúe nunha tubaxe ou tubo, polo que debemos revisar o caudal volumétrico do fluído.
Dentro do tubo hai un fluído. Por exemplo, dividimos o fluído en anacos moi pequenos, onde cada anaco ten unha unidade de área dA, está distanciada do eixe do tubo e ten un caudal v. Matematicamente, isto pódese escribir do seguinte xeito:
dA1 = sección de fluído 1, que está a unha distancia de 1 desde o eixe do tubo
dA2 = sección de fluído 2, que está a unha distancia de 2 desde o eixe do tubo
dA3 = sección de fluído 3, que está a unha distancia de 3 desde o eixe do tubo
………………………………….
dA n = sección de fluído n, que é unha distancia dA n desde o eixe do tubo
Hai tantas pezas de fluído que é conveniente escribilas simplemente co símbolo n. O caudal volumétrico de cada peza de fluído pódese escribir matematicamente do seguinte xeito:
Cada anaco de fluído está a unha distancia de r = 0 a r = R (R = o radio do tubo). Noutras palabras, a distancia de cada anaco de fluído varía cando se mide desde o eixe do tubo. Se xogamos co cálculo (integración), obteremos a ecuación para o caudal volumétrico do fluído no tubo:
Información:
Q = Débito
R = Radio interno do tubo ou tubaxe
η = Coeficiente de viscosidade
P1 – p2 = Diferenza de presión entre os dous extremos da tubaxe
L = Lonxitude da tubaxe
p1 -p2 /L = Gradiente de presión ( o fluxo de fluído sempre vai na dirección decrecente da presión)
Baseándose na ecuación de Poiseuille anterior, parece que o caudal volumétrico do fluído, tamén coñecido como caudal (Q), é proporcional á cuarta potencia do raio do tubo (R4 ) , ao gradiente de presión (p2 – p1 / L) e é inversamente proporcional á viscosidade. Se se aumenta o raio do tubo (o coeficiente de viscosidade e o gradiente de presión permanecen constantes), entón o caudal do fluído aumenta nun factor de 16.
O concepto básico do deseño de tubaxes, xiringas e outras cousas emprega esta ecuación. O caudal de fluído é proporcional a R4 ( R = radio do tubo). O radio da xiringa ou o radio da tubaxe debe calcularse coidadosamente. Por exemplo, se duplicamos o radio da agulla (r x 2), entón o caudal de fluído que pulveriza = aumenta a forza de presión do polgar en 16 veces.
A ecuación de Poiseuille tamén mostra que a cuarta potencia do radio (r⁴ ) é inversamente proporcional á diferenza de presión entre os dous extremos do tubo. Por exemplo, inicialmente o sangue flúe nun vaso sanguíneo cun radio interno de r. Se hai un estreitamento do vaso sanguíneo (por exemplo, r/2 = o radio interno do vaso sanguíneo redúcese ao 2), entón necesítase unha diferenza de presión de 16 veces para que o sangue flúa como antes (de xeito que a descarga ou o caudal de sangue permaneza constante).
