Exemplos de preguntas e debate: varianza e desviación estándar de datos individuais
A estatística é unha rama das matemáticas que se ocupa da recollida, análise, interpretación, presentación e organización de datos. Dous conceptos importantes en estatística son a varianza e a desviación estándar. Este artigo analizará en detalle como calcular a varianza e a desviación estándar dun único conxunto de datos mediante varios problemas de exemplo.
Comprensión da varianza e a desviación estándar
A varianza é unha medida que cuantifica a distancia que os números dun conxunto de datos se afastan da media ou do valor porcentual. A varianza exprésase en unidades cadradas dos datos orixinais, o que a miúdo dificulta a súa interpretación.
A desviación estándar é a raíz cadrada da varianza. Ofrece unha medida máis intuitiva de canto se desvían os datos da media porque as súas unidades son as mesmas que as unidades orixinais dos datos.
Fórmula xeral
Para datos individuais, a fórmula para a varianza σ( \sigma^2 \) e a desviación estándar σ( \sigma \) da poboación é a seguinte:
1. Varianza (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Desviación estándar (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Onde:
– \(N\) é o número de datos da poboación.
– \(x_i \) é o i-ésimo valor dos datos.
– \( \mu \) é a media ou valor promedio dos datos.
Se calculamos a varianza e a desviación estándar da mostra, a fórmula anterior modifícase lixeiramente:
1. Varianza da mostra (s²):
\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Desviación estándar da mostra (s):
s = (sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2)
Onde:
– \(n\) é o número de datos da mostra.
– \( \bar{x} \) é a media ou valor promedio da mostra.
Exemplos de preguntas e debate
Exemplo de pregunta 1:
Dados os seguintes datos:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Calcula a varianza e a desviación estándar dos datos!
Pasos da solución:
1. Cálculo da media (valor medio) μ:
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Calcula a diferenza entre os datos e a media, despois eleva ao cadrado:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Sumando todos os resultados ao cadrado:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Cálculo da varianza (σ²) dos datos da poboación:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Nota: Dado que estes datos se presentan como datos de poboación, dividimos entre 6.
5. Cálculo da desviación estándar (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \approx 1.886
\]
Entón, a varianza dos datos é 3.559 e a desviación estándar é 1.886.
Exemplo de pregunta 2:
Dados os seguintes datos de exemplo:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Calcula a varianza e a desviación estándar da mostra!
Pasos da solución:
1. Cálculo da media (promedio) \( \bar{x} \):
\[
x = 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11/6 = 49/6 = 8.167
\]
2. Calcula a diferenza entre os datos e a media, despois eleva ao cadrado:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Sumando todos os resultados ao cadrado:
\[
suma (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Cálculo da varianza da mostra (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Nota: Dado que se trata de datos de mostra, dividimos entre 5 (n-1).
5. Cálculo da desviación estándar (s):
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]
Entón, a varianza dos datos da mostra é 5.351 e a desviación estándar é 2.313.
Conclusión
Calcular a varianza e a desviación estándar é vital para comprender como se dispersan os datos dentro dun conxunto determinado. Mentres que a varianza proporciona unha medida teórica da dispersión en cadrados das unidades orixinais, a desviación estándar interpreta a medida da dispersión en termos das unidades orixinais dos datos, o que facilita a súa comprensión. Na análise de datos, estas dúas medidas adoitan empregarse para avaliar a variabilidade dos datos e tomar decisións estatísticas.
Ao comprender os pasos e as fórmulas necesarios, podemos calcular facilmente a varianza e a desviación estándar para diversas situacións que atopamos na recollida e análise de datos cotiás. Esperamos que este artigo proporcione unha comprensión máis profunda dos conceptos de varianza e desviación estándar en conxuntos de datos individuais.
