Exemplos de preguntas sobre a varianza e a desviación estándar dos datos dun grupo
Pendahuluan
En estatística, a varianza e a desviación estándar son dúas medidas estatísticas cruciais para comprender a dispersión, ou dispersión, dos datos con respecto á media. A varianza mide a distancia que os datos teñen con respecto á media, mentres que a desviación estándar é a raíz cadrada da varianza, o que proporciona unha medida que está nas mesmas unidades que os datos orixinais.
Definicións
– Varianza (σ² ou S²): É a media dos cadrados das diferenzas entre cada valor de datos e a media dos datos.
– Desviación estándar (σ ou S): É a raíz cadrada da varianza.
Fórmula para a varianza e a desviación estándar dos datos do grupo
Para os datos de grupo, empregamos a frecuencia dos datos en cada clase. Velaquí a fórmula:
Varian
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Desviación estándar
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Onde:
– \(f_i\) = frecuencia de cada clase.
– \(x_i\) = punto medio de cada clase.
– \( \bar{x} \) = a media dos datos do grupo.
– \(N\) = número total de datos.
Exemplos de preguntas e debate
Supoñamos que temos datos de peso para un grupo de persoas agrupadas en clases.
| Intervalo de peso (kg) | Frecuencia (f) |
|—————————|—————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
O primeiro paso é determinar o punto medio de cada clase (\(x_i\)) e despois calcular a media (\(\bar{x}\)).
1. Cálculo do punto medio ( \( x_i \) )
\[ \text{Punto medio} = \frac{\text{Límite inferior} + \text{Límite superior}}{2} \]
| Intervalo de peso (kg) | Frecuencia (f) | Punto medio ( \( x_i \) ) |
|——————|—————–|—————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Cálculo da media ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Número total de datos (N):
N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25
\[ \sum f_i x_i = (2 × 52) + (5 × 57) + (8 × 62) + (7 × 67) + (3 × 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Entón, a media (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. Cálculo da varianza ( \( S^2 \) )
Necesitamos calcular (\sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 ):
\[
\begin{align }
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{aliñar }
\]
Multiplicando pola frecuencia:
\[
\begin{align }
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 × 33.64 = 168.2
& 8 × 0.64 = 5.12
& 7 × 17.64 = 123.48
& 3 × 84.64 = 253.92
\end{aliñar }
\]
\[
suma f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Agora podemos calcular a varianza (\( S^2 \)):
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \aprox. 32.85 \]
4. Cálculo da desviación estándar ( \( S \) )
Desviación estándar (\(S\)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \aprox. 5.73 \]
Conclusión
Dos datos de exemplo anteriores, temos:
– Cálculo do peso corporal medio: 62.8 kg
– Cálculo da varianza: 32.85 kg²
– Cálculo da desviación estándar: 5.73 kg
A interpretación da desviación estándar é que a desviación media dos datos de peso con respecto á media é de aproximadamente 5.73 kg. Isto indica a dispersión dos datos en relación coa media, o que pode axudar a inferir a variable que teñen os nosos datos.
Unha comprensión profunda da varianza e da desviación estándar é crucial, especialmente para aqueles que traballan en estatística, investigación e probas, xa que tentan comprender os datos en forma de grupos ou distribucións. Saber calcular e interpretar estas dúas medidas pode axudar a unha mellor toma de decisións baseada nos datos dispoñibles.
