Exemplos de preguntas sobre cuartiles de datos agrupados
Pendahuluan
En estatística, os cuartiles son unha medida de tendencia central que divide os datos en catro partes iguais. Os cuartiles constan do primeiro cuartil (Q1), o segundo cuartil (Q2) e o terceiro cuartil (Q3). En moitos casos, os datos que se analizan pódense agrupar. Este artigo tratará exemplos e unha análise dos cuartiles para datos agrupados.
Entender os cuartiles nos datos de grupo
Os cuartiles son valores que dividen os datos organizados en catro partes iguais. O primeiro cuartil (Q1) coñécese como percentil 25, o segundo cuartil (Q2) tamén se coñece como mediana ou percentil 50 e o terceiro cuartil (Q3) coñécese como percentil 75.
Para datos agrupados, calcular os cuartiles é un pouco máis complicado que para datos individuais. Os datos agrupados adoitan presentarse nunha táboa de distribución de frecuencias, polo que debemos usar unha fórmula específica para atopar os cuartiles.
Fórmula de cuartís para datos agrupados
Para atopar os cuartís en datos agrupados, empregamos a seguinte fórmula:
– Primeiro cuartil (Q1):
\[
Q1 = L_{Q1} + (\frac{\frac{N}{4} – F_{Q1}}{f_{Q1}} \right) × c
\]
– Segundo cuartil (Q2):
\[
Q2 = L_{Q2} + (\frac{\frac{N}{2} – F_{Q2}}{f_{Q2}} \right) × c
\]
– Terceiro cuartil (Q3):
\[
Q3 = L_{Q3} + (\frac{\frac{3N}{4} – F_{Q3}}{f_{Q3}} \right) × c
\]
Onde:
– \(L_{Q1}, L_{Q2}, L_{Q3} \) = límite inferior da clase Q1, Q2, Q3
– \(N\) = número de datos
– \( F_{Q1}, F_{Q2}, F_{Q3} \) = frecuencia acumulada antes da clase Q1, Q2, Q3
– (f_{Q1}, f_{Q2}, f_{Q3}) = frecuencias de clase Q1, Q2, Q3
– \(c \) = lonxitude da clase
Exemplo de problemas
O seguinte é un exemplo dun problema de datos de grupo que se empregará para calcular cuartís:
| Valor | Frecuencia |
|————|———–|
| 10 – 19 | 5 |
| 20 – 29 | 8 |
| 30 – 39 | 12 |
| 40 – 49 | 15 |
| 50 – 59 | 6 |
| 60 – 69 | 4 |
Paso 1: Determinar a frecuencia acumulada
En primeiro lugar, precisamos determinar a frecuencia acumulada para cada clase:
| Valor | Frecuencia | Frecuencia acumulada |
|————|—————–|—————————|
| 10 – 19 | 5 | 5 |
| 20 – 29 | 8 | 13 |
| 30 – 39 | 12 | 25 |
| 40 – 49 | 15 | 40 |
| 50 – 59 | 6 | 46 |
| 60 – 69 | 4 | 50 |
Número de datos (N) = 50
Paso 2: Determinación do primeiro cuartil (Q1)
– \( \frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \)
Buscamos a clase onde a frecuencia acumulada supera por primeira vez 12.5, concretamente a clase 20–29.
– L (límite inferior da clase Q1) = 20
– F (frecuencia acumulada antes da clase Q1) = 5
– f (frecuencia da clase Q1) = 8
– c (lonxitude da clase) = 10
Usando a fórmula Q1:
\[
Q1 = 20 + (\frac{12.5 – 5}{8}) \times 10 = 20 + (\frac{7.5}{8}) \times 10 = 20 + 9.375 = 29.375
\]
Paso 3: Determinación do segundo cuartil (Q2)
– \( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
Buscamos a clase onde a frecuencia acumulada supera por primeira vez 25, concretamente a clase 30–39.
– L = 30
– F = 13
– f = 12
– c = 10
Usando a fórmula Q2:
\[
Q2 = 30 + (\frac{25 – 13}{12}) \times 10 = 30 + (\frac{12}{12}) \times 10 = 30 + 10 = 40
\]
Paso 4: Determinar o terceiro cuartil (Q3)
– (\frac{3N}{4} = \frac{3 × 50}{4} = 37.5)
Buscamos a clase onde a frecuencia acumulada supera por primeira vez 37.5, concretamente a clase 40–49.
– L = 40
– F = 25
– f = 15
– c = 10
Usando a fórmula Q3:
\[
Q3 = 40 + (\frac{37.5 – 25}{15} \right) \times 10 = 40 + (\frac{12.5}{15} \right) \times 10 = 40 + 8.333 \approx 48.333
\]
Conclusión
Dos cálculos anteriores, obtemos os valores cuartílicos para os datos do grupo do seguinte xeito:
– Primeiro cuartil (Q1) = 29.375
– Segundo cuartil (Q2) = 40
– Terceiro cuartil (Q3) = 48.333
Estes valores permítennos comprender como se distribúen os datos dentro do grupo. Por exemplo, o 25 % dos datos caen por debaixo de 29 375 (Q1), o 50 % dos datos caen por debaixo de 40 (a mediana ou Q2) e o 75 % dos datos caen por debaixo de 48 333 (Q3).
Os cálculos de cuartís son útiles nunha variedade de situacións para obter unha comprensión máis profunda da distribución de datos. Comprender este método permítenos analizar datos agrupados de forma máis precisa e eficaz.
