Exemplos de preguntas e debate sobre a correlación de momentos do produto
A correlación produto-momento, tamén coñecida como correlación de Pearson, é un método estatístico empregado para medir a forza e a dirección dunha relación lineal entre dúas variables. Este método é útil en diversos campos, desde a investigación académica e a análise empresarial ata a avaliación de experimentos en ciencias naturais. Este artigo analizará varios problemas de exemplo e as súas solucións para calcular a correlación produto-momento.
Pendahuluan
Antes de entrarmos nas preguntas de exemplo, é boa idea comprender o concepto básico da correlación do momento do produto. A fórmula xeral empregada para calcular o coeficiente de correlación de Pearson (\(r\)) é:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Onde:
– \(n\) é o número de pares de datos.
– \( \sum{XY} \) é a suma dos produtos de \( X \) e \( Y \).
– \( \sum{X} \) é a suma das variables \( X \).
– \( \sum{Y} \) é a suma das variables \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) é a suma dos cadrados da variable \( X \).
– \( \sum{Y^2} \) é a suma dos cadrados da variable \( Y \).
O coeficiente de correlación de Pearson (\(r\)) está sempre entre -1 e 1. Unha correlación positiva indica que ambas as variables se moven na mesma dirección, mentres que unha correlación negativa indica que a medida que unha variable aumenta, a outra diminúe. Se \(r = 0\), entón non hai correlación lineal entre as dúas variables.
Exemplo de pregunta 1
Data
Os seguintes son os datos das puntuacións dos exames de matemáticas e física de 5 estudantes:
| Estudante | Matemáticas (X) | Física (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Pasos para resolver
1. Cálculo de compoñentes importantes:
– ( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– ( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– (\sum{XY}) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– ( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– ( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Introduza na fórmula:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Cálculo de resultados:
– Numerador: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Denominador:
– (n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766)
– (n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276)
– (\sqrt{766 × 1276} \sqrt{976856} \sqrt{989.36\)
\[ r = \frac{626}{989.36} \aprox. 0.633 \]
Polo tanto, o coeficiente de correlación de Pearson entre as puntuacións das probas de matemáticas e física é de 0.633, o que indica que existe unha correlación positiva moderada entre as dúas variables.
Exemplo de pregunta 2
Data
Os seguintes son datos sobre o valor das vendas e o gasto en publicidade durante 6 meses nunha empresa:
| Mes | Publicidade (X) | Vendas (Y) |
|——-|————–|———————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Pasos para resolver
1. Cálculo de compoñentes importantes:
– ( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– ( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– ( \sum{XY} \) = (2000 \ 2500) + (1800 \ 2100) + (2200 \ 2700) + (2400 \ 2900) + (2300 \ 3000) + (2500 \ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– ( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– ( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Introduza na fórmula:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Cálculo de resultados:
– Numerador: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Denominador:
– (n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000)
– (n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000)
– (\sqrt{2040000 × 4580000} \sqrt{9343200000000} \sqrt{3056246.20\)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \aprox. 0.981 \]
Polo tanto, o coeficiente de correlación de Pearson entre o gasto en publicidade e o valor das vendas é de 0.981, o que indica que existe unha correlación positiva moi forte entre as dúas variables.
Conclusión
O coeficiente de correlación de Pearson (\(r\)) é unha ferramenta moi útil para comprender a relación lineal entre dúas variables. Nos exemplos proporcionados, vemos como calcular o valor de \(r\) e interpretalo. Unha correlación máis alta (máis próxima a 1 ou -1) indica unha relación máis forte, mentres que unha correlación máis baixa (máis próxima a 0) indica unha relación máis débil. É importante ter en conta que a correlación non implica causalidade; simplemente indica que existe unha relación entre as dúas variables.
