Exemplo dunha pregunta de debate sobre o coeficiente de determinación
O coeficiente de determinación (R²) é un parámetro importante na análise de regresión, que indica o ben que un modelo de regresión explica a variabilidade real dos datos. Neste artigo, explicaremos o concepto do coeficiente de determinación mediante un exemplo detallado e unha análise.
Concepto básico de coeficiente de determinación
O coeficiente de determinación ou \(R^2\) mídese nunha escala de 0 a 1, onde:
– \(R^2 = 0 \) indica que o modelo de regresión non é capaz de explicar a variabilidade dos datos en absoluto.
– \(R^2 = 1 \) demostra que o modelo de regresión é capaz de explicar perfectamente toda a variabilidade dos datos.
A fórmula básica para calcular o coeficiente de determinación é:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Onde:
– SSR (Suma de Residuos ao Cadrado) é a suma dos cadrados das diferenzas entre os valores preditos polo modelo e os valores reais.
– SST (Suma Total de Cadrados) é o total da suma dos cadrados das diferenzas entre o valor real e a media dos valores reais.
Exemplo de problemas
Vexamos un problema de exemplo para comprender o cálculo do coeficiente de determinación con máis profundidade.
Exemplo de problemas:
Supoñamos que temos datos sobre o número de horas de estudo (X) e as puntuacións dos exames (Y) de 10 estudantes:
| Estudantes | Horas de estudo (X) | Puntuación do exame (Y) |
|——-|——————–|———————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Crearemos un modelo de regresión lineal simple onde as puntuacións dos exames (Y) se predicen en función das horas de estudo (X).
Discusión
1. Construción dun modelo de regresión lineal simple
Un modelo de regresión lineal simple ten a forma:
\[ Y = a + bX \]
Onde:
– \(Y \) é a puntuación prevista da proba.
– \(X\) é o número de horas de estudo.
– \(a \) é a intersección (o punto de intersección no eixe Y cando X = 0).
– \(b \) é a pendente (inclinación da recta de regresión).
Para calcular os parámetros \(a\) e \(b\), empregamos a seguinte fórmula:
b = n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2}
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
Onde \(n\) é o número de datos (neste caso n = 10).
Da táboa podemos calcular:
– (suma X = 36)
– (\suma{Y} = 704\)
– (\suma{X^2} = 140\)
– \(\suma{Y^2} = 50428\)
– (suma XY = 2576)
Calculemos primeiro b:
b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2}
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
Entón, calculamos a:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Entón, o modelo de regresión lineal que obtemos é:
\[ Y = 56 + 4X \]
2. Calcular o valor previsto (Y')
A continuación, calculamos o valor predicido \(Y'\) para cada \(X\):
| Estudantes | Horas de estudo (X) | Puntuación do exame (Y) | Puntuación prevista (Y') |
|——-|——————–|———————–|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | (56 + 4(2) = 64) |
| 2 | 3 | 64 | (56 + 4(3) = 68) |
| 3 | 4 | 70 | (56 + 4(4) = 72) |
| 4 | 5 | 85 | (56 + 4(5) = 76) |
| 5 | 2 | 57 | (56 + 4(2) = 64) |
| 6 | 3 | 68 | (56 + 4(3) = 68) |
| 7 | 4 | 72 | (56 + 4(4) = 72) |
| 8 | 5 | 90 | (56 + 4(5) = 76) |
| 9 | 3 | 62 | (56 + 4(3) = 68) |
| 10 | 4 | 78 | (56 + 4(4) = 72) |
3. Cálculo da SSR e da SST
A continuación, calculamos SSR e SST para obter \(R^2\).
SSR:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
Temperatura da superficie:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
Onde:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ TMS = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ Presión das superficies superficiais = 1107.44 \]
4. Cálculo do coeficiente de determinación \(R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
Conclusión
Do cálculo anterior, obtivemos un coeficiente de determinación (R2 = 0.59). Isto indica que o modelo de regresión lineal que creamos pode explicar aproximadamente o 59 % da variabilidade nas puntuacións dos exames en función das horas de estudo. O 41 % restante da variabilidade podería deberse a outros factores non incluídos no modelo.
Ao comprender os pasos e cálculos anteriores, podemos ver a importancia do coeficiente de determinación á hora de avaliar o grao de explicación do modelo de regresión que construímos da variabilidade real dos datos. É unha ferramenta moi útil na análise estatística e na modelización de datos.
