Exemplos de preguntas sobre a función de distribución binomial
A distribución binomial é unha distribución de probabilidade discreta que describe o número de éxitos nun experimento que consiste nun certo número de ensaios independentes con dous resultados posibles: éxito e fracaso. Cada ensaio chámase ensaio, e a distribución binomial úsase a miúdo en situacións nas que o número de éxitos nun certo número de ensaios independentes é de interese. Neste artigo, discutiremos os conceptos básicos da distribución binomial e proporcionaremos exemplos e solucións.
Conceptos básicos da función de distribución binomial
Antes de entrar nas preguntas de exemplo e na discusión, imos falar dalgúns conceptos básicos relacionados coa distribución binomial.
1. Definición: A distribución binomial defínese como a suma de éxitos en «n» ensaios independentes, onde cada ensaio ten dous resultados posibles: éxito (con probabilidade p) ou fracaso (con probabilidade q = 1 – p).
2. Función de probabilidade: A función de probabilidade da distribución binomial é:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Onde:
– \(P(X = k) \) é a probabilidade de ter k éxitos en n probas.
– \( \binom{n}{k} \) é unha combinación de n con k, que se define como \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p\) é a probabilidade de éxito en cada intento.
– \((1-p) \) é a probabilidade de fallo en cada intento.
3. Valor esperado e varianza:
– O valor esperado (media) da distribución binomial é (μ = np).
– A varianza da distribución binomial é (sigma² = np(1-p)).
Agora, apliquemos estes conceptos nun problema de exemplo para proporcionar unha comprensión máis profunda.
Pregunta de exemplo 1: Cálculos básicos da distribución binomial
Pregunta:
Unha empresa produce compoñentes electrónicos cunha probabilidade do 0.95 de que cada compoñente supere unha proba de calidade. Se se producen 10 compoñentes, calcula a probabilidade de que exactamente 8 compoñentes superen a proba de calidade.
Debate:
Podemos usar a fórmula da distribución binomial para resolver este problema. Primeiro, identificamos os seguintes parámetros:
– \(n\) (número total de intentos) = 10
– \(k\) (número de éxitos) = 8
– \(p\) (probabilidade de éxito) = 0.95
– \(q \) (probabilidade de fallo) = 1 – 0.95 = 0.05
Despois substitúe estes valores na fórmula da distribución binomial:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Primeiro, calcula a combinación \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 × 9 × 8!}{8! × 2!} = \frac{10 × 9}{2 × 1} = 45
\]
Despois, calcula as probabilidades \( (0.95)^8 \) e \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \aprox. 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Finalmente, multiplica todos eses valores para obter:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 ± 0.0744
\]
Entón, a probabilidade de que exactamente 8 de cada 10 compoñentes superen a proba de calidade é de aproximadamente 0.0744 ou 7.44 %.
Pregunta de exemplo 2: Probabilidade acumulada
Pregunta:
Aínda coa mesma empresa, calcula a probabilidade de que polo menos 9 de cada 10 compoñentes superen a proba de calidade.
Debate:
Para resolver este problema, precisamos calcular a probabilidade acumulada. A probabilidade de que polo menos 9 de 10 compoñentes superen a proba significa que calculamos \( P(X \geq 9) \), que se pode escribir como:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Usando a fórmula da distribución binomial:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Primeiro, calcula a combinación para cada caso:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Despois, calcula as probabilidades para \( P(X = 9) \) e \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \aprox. 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 ± 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} \approx 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Probabilidade total para \(P(X \geq 9) \):
\[
P(X ≤ 9) = 0.3151 + 0.5987 \approx 0.9138
\]
Entón, a probabilidade de que polo menos 9 de cada 10 compoñentes superen a proba de calidade é de aproximadamente 0.9138 ou 91.38 %.
Pregunta de exemplo 3: Valor esperado e varianza
Pregunta:
Calcula o valor esperado e a varianza do número de compoñentes que superan a proba de calidade de entre 10 compoñentes producidos, cunha probabilidade de aprobación de 0.95.
Debate:
Usa a seguinte fórmula:
– Valor esperado (media) (μ = np)
– Varianza \( \sigma^2 = np(1-p) \)
Con (n = 10) e (p = 0.95):
\[
μ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
σ^2 = 10 × 0.95 × 0.05 = 0.475
\]
Entón, o valor esperado do número de compoñentes que superan a proba de calidade é 9.5 e a varianza é 0.475.
Conclusión
Mediante os tres problemas de exemplo anteriores, analizamos como calcular a probabilidade usando a distribución binomial para diversas situacións: calcular a probabilidade exacta, a probabilidade acumulada e calcular o valor esperado e a varianza. O coñecemento da distribución binomial é útil en varios campos, como a industria manufactureira, a investigación médica e as estatísticas sociais, onde se poden analizar os resultados de experimentos repetidos con dous resultados posibles para axudar na toma de decisións. Esperemos que os problemas de exemplo e as discusións proporcionadas axuden a comprender mellor a distribución binomial.
