Exemplos de preguntas sobre series aritméticas
As secuencias aritméticas son un concepto fundamental nas matemáticas que aparece con frecuencia en diversos problemas, tanto na educación secundaria como no ensino superior. Este concepto implica unha secuencia de números onde cada termo é o resultado de sumar ou restar un número constante do termo anterior. Neste artigo, discutiremos varios problemas de exemplo e as súas solucións para comprender mellor o concepto de secuencias aritméticas.
Comprensión das series aritméticas
Unha serie aritmética é unha serie que ten unha diferenza (diferenza) constante entre dous termos consecutivos. Por exemplo, se unha serie aritmética ten o primeiro termo \(a\) e a diferenza \(d\), entón os termos pódense escribir do seguinte xeito:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...]
Se queremos atopar o termo n-ésimo desta serie, a fórmula para o termo n-ésimo (\(U_n\)) é:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Mentres tanto, a suma dos primeiros n termos dunha serie aritmética (\(S_n\)) pódese calcular usando a fórmula:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Exemplos de preguntas e debate
Exemplo de pregunta 1
Pregunta: Dada unha serie aritmética co primeiro termo \(a = 5\) e a diferenza común \(d = 3\). Atopa o décimo termo da serie.
Debate:
Para atopar o décimo termo (\(U_{10}\)), podemos usar a fórmula do termo n-ésimo:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Entón, o décimo termo da serie é 32.
Exemplo de pregunta 2
Pregunta: Atopa a suma dos primeiros 15 termos da serie aritmética cuxo primeiro termo é \(a = 4\) e a diferenza común é \(d = 7\).
Debate:
Para atopar a suma dos primeiros 15 termos (\(S_{15}\)), podemos usar a fórmula para a suma dos primeiros n termos:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
Entón, a suma dos primeiros 15 termos da serie é 795.
Exemplo de pregunta 3
Pregunta: Sábese que o quinto termo dunha serie aritmética é 20 e o duodécimo termo é 48. Atopa o primeiro termo (\(a\)) e a diferenza común (\(d\)) da serie.
Debate:
Das condicións dadas:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Temos dúas ecuacións lineais con dúas variables que podemos resolver:
1. \(a + 4d = 20 \)
2. \(a + 11d = 48 \)
Da ecuación 1, podemos expresar \(a\) en termos de \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
Agora substituímos \(a\) na ecuación 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Agora substituímos o valor de \(d\) na ecuación \(a = 20 – 4d\):
\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
Entón, o primeiro termo da serie é 4 e a diferenza común é 4.
Exemplo de pregunta 4
Pregunta: Cantos termos se necesitan para que unha serie aritmética con primeiro termo \(a = 2\) e diferenza común \(d = 5\) sume 200?
Debate:
Neste caso, precisamos atopar a suma dos primeiros n termos (\(S_n\)) que sexa igual a 200. Usa a fórmula para a suma dos primeiros n termos:
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200
Substituíndo os valores de \(a\) e \(d\):
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
Esta é unha ecuación cuadrática. Para resolvela, cambiamos a súa forma:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Usa a fórmula cuadrática \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Neste caso, \(a = 5\), \(b = -1\) e \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
O valor de \(\sqrt{8001}\) está preto de 89.42, entón:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Tomamos os valores positivos:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \aprox. \frac{90.42}{10} \]
\[ n \aprox. 9.042 \]
Entón, o número de termos necesarios é de 9 termos (se se arredonda).
Conclusión
As secuencias aritméticas son un tema crucial nas matemáticas. Unha comprensión completa do primeiro termo, a diferenza común, o enésimo termo e a suma dos primeiros n termos é inestimable para resolver unha ampla variedade de problemas. Mediante o uso dos exemplos e as discusións anteriores, espérase que os lectores obteñan unha mellor comprensión dos conceptos básicos das secuencias aritméticas.
