Material de ecuación de continuidade
Tenta abrir a billa lentamente mentres observas o fluxo de auga que sae da billa. Unha vez que a billa deixe de xirar, bloquea parcialmente a billa coa man. Agora compara cal é o fluxo de auga maior. Cando está parcialmente bloqueado ou desbloqueado? Se tes unha mangueira que se usa normalmente para regar flores, deixa que a auga flúa a través dela. Bloquea parcialmente a mangueira coa man ou o dedo. Canta máis parte da mangueira estea bloqueada, máis rápido sairá a auga. Pola contra, se a mangueira non está bloqueada, a auga fluirá menos rápido. Por que é así? Para entendelo, estuda a ecuación de continuidade.
Liñas de corrente e tubos de fluxo
Primeiro, comprendamos os conceptos de liñas de corrente e tubos de fluxo. Este concepto é importante porque che axudará a comprender a ecuación de continuidade.
Liña de corrente
Mira a imaxe de embaixo, a liña azul é a liña de corrente.
Nun fluxo estacionario, a velocidade de cada partícula de fluído nun punto, por exemplo o punto A, permanece constante. Ao pasar polo punto B, a velocidade das partículas de fluído pode cambiar. Non obstante, ao chegar ao punto B, as partículas de fluído que as seguen continúan fluíndo á mesma velocidade que as partículas de fluído que as precederon. O mesmo aplícase ao chegar ao punto C, e así sucesivamente. A liña de corrente é a curva que conecta os puntos A, B e C.
Tubo de fluxo
Esencialmente, podemos debuxar cada liña de corrente a través de cada punto do fluxo de fluído. Se consideramos un fluxo de fluído estacionario, unha serie de liñas de corrente que pasan por un certo ángulo nunha superficie imaxinaria (área superficial imaxinaria) forman un tubo de fluxo. Ningunha partícula de fluído se interseca entre si, senón que sempre son paralelas, e o tubo de fluxo asemellarase a un tubo que sempre ten a mesma forma. O fluído que entra por un extremo do tubo sairá do tubo polo outro extremo.
Débito
O caudal indica o volume dun fluído que flúe a través dunha determinada sección transversal nun determinado intervalo de tempo. Matematicamente, pódese expresar do seguinte xeito:
Para mellorar a túa comprensión, imos usar un exemplo. Supoñamos que un fluído flúe a través dunha tubaxe. As tubaxes adoitan ser cilíndricas e teñen unha sección transversal específica. A tubaxe tamén ten unha lonxitude.
Cando o fluído flúe pola tubaxe ata L, o volume de fluído na tubaxe é V = AL (V = volume do fluído, A = área da sección transversal e L = lonxitude da tubaxe). Dado que durante o fluxo pola tubaxe ao longo de L o fluído percorre un certo intervalo de tempo, podemos dicir que a magnitude do caudal de fluído é:
Dado que v = s/t = L/t —> L = vt, a ecuación anterior cámbiase a:
Así, cando un fluído flúe a través dunha tubaxe que ten unha determinada área de sección transversal e lonxitude durante un determinado intervalo de tempo, a magnitude do caudal de fluído (Q) é igual á área superficial da sección transversal (A) multiplicada pola velocidade do fluxo de fluído (v).
Ecuación de continuidade
Considere o fluxo de fluído nunha tubaxe con diferentes diámetros, como se mostra na figura seguinte.
Esta imaxe mostra o fluxo de fluído de esquerda a dereita (o fluído flúe dunha tubaxe cun diámetro grande a unha tubaxe cun diámetro pequeno). As liñas punteadas son liñas de corrente.
Pé de foto: A 1 = área da sección transversal da sección do tubo de gran diámetro, A 2 = área da sección transversal da sección do tubo de pequeno diámetro, v 1 = velocidade do fluxo de fluído na sección do tubo de gran diámetro, v 2 = velocidade do fluxo de fluído na sección do tubo de pequeno diámetro, L = distancia percorrida polo fluído.
Na introdución á dinámica de fluídos, explicouse que na dinámica de fluídos falamos do fluxo de fluídos que son incompresibles, non viscosos, non turbulentos e estacionarios. Nun fluxo estacionario, a velocidade das partículas do fluído nun punto é a mesma que a velocidade doutras partículas de fluído que pasan por ese punto. Os fluxos de fluído tampouco se intersecan (as liñas de corrente son paralelas). Polo tanto, a masa do fluído que entra nun extremo da tubaxe debe ser igual á masa do fluído que sae polo outro extremo. Se un fluído cunha determinada masa entra nunha tubaxe cun diámetro grande, entón o fluído sairá da tubaxe cun diámetro pequeno e cunha masa constante.
Agora, observa a imaxe da tubaxe de arriba. Observa a parte da tubaxe co diámetro grande e a parte da tubaxe co diámetro pequeno.
Durante un determinado intervalo de tempo, unha certa cantidade de fluído flúe a través dunha sección de tubaxe de gran diámetro (A).1) ata L1 (L1 = v1 t). O volume de fluído que flúe é V1 = A1 L1 = A1 v1 t. Durante o mesmo intervalo de tempo, outra cantidade de fluído flúe a través dunha sección de tubaxe cun diámetro menor (A).2) ata L2 (L2 = v2 t). O volume de fluído que flúe é V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Ecuación de continuidade para fluídos incompresibles (incompresible)
Primeiro, consideremos o caso dun fluído incompresible. Nun fluído incompresible, a densidade, ou masa, do fluído é sempre a mesma en cada punto polo que pasa. A masa do fluído que flúe nunha tubaxe cunha área de sección transversal A1 ( o diámetro maior da tubaxe) durante un determinado intervalo de tempo é:
Do mesmo xeito, a masa de fluído que flúe nunha tubaxe cunha sección transversal de A2 ( diámetro pequeno da tubaxe) durante un determinado intervalo de tempo é:
Considerando que en fluxo estacionario, a masa de fluído que entra é a mesma que a masa de fluído que sae, entón:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (a densidade do fluído e o intervalo de tempo son iguais, polo que se cancelan)
Un 1 contra un 1 = Un 2 contra un 2
Entón, en fluídos incompresibles, aplícase a ecuación de continuidade:
A1 v1 = A2 v2 — Ecuación 1
Información:
A 1 = área da sección transversal 1, A 2 = área da sección transversal 2, v 1 = velocidade do fluxo de fluído na sección transversal 1, v 2 = velocidade do fluxo de fluído na sección transversal 2, A v = caudal volumétrico V/t tamén coñecido como descarga
A ecuación 1 mostra que o caudal volumétrico, tamén coñecido como descarga, é sempre o mesmo en cada punto dunha tubaxe ou tubo de fluxo. A medida que a sección transversal da tubaxe diminúe, o caudal de fluído aumenta; pola contra, a medida que a sección transversal da tubaxe aumenta, o caudal de fluído diminúe.
Cando tapamos parcialmente a billa, o fluxo de auga faise máis rápido que cando a billa está parcialmente pechada. Isto débese a que a área da sección transversal da billa diminúe cando a billa está parcialmente pechada, o que aumenta o caudal de auga (o fluído flúe máis rápido). O mesmo ocorre coas mangueiras. Non obstante, é importante ter en conta que o caudal volumétrico ou de descarga permanece igual en todos os puntos ao longo do fluxo de auga, tanto se a billa está parcialmente pechada como se non. Entón, o que cambia é o caudal do fluído.
Entón, que pasa co fluxo de auga nun río? As seccións máis profundas dun río teñen unha sección transversal maior que as seccións menos profundas, polo que o caudal de auga nas seccións máis profundas é menor que nas seccións menos profundas. Se ves un caudal de río moi tranquilo, iso significa que o río é profundo. Pero se o río de súpeto se volve rápido, esa sección é definitivamente pouco profunda. Non obstante, o caudal volumétrico da auga é sempre o mesmo, tanto nas seccións profundas como nas tranquilas do río.
Ecuación de continuidade para fluídos compresibles (compresible)
No caso dos fluídos compresibles , a súa densidade non sempre é a mesma. Noutras palabras , a densidade cambia ao comprimirse. Mentres que nos fluídos incompresibles a densidade se elimina da ecuación, neste caso a densidade segue estando incluída. Referíndonos á ecuación derivada anteriormente, derivemos a ecuación para os fluídos compresibles.
Considerando que en fluxo estacionario, a masa de fluído que entra é a mesma que a masa de fluído que sae, entón:
m1 = m2
ρA₁ v₁ t = ρA₂ v₂ t
O intervalo de tempo do fluxo de fluído é o mesmo, polo que se pode eliminar. A ecuación cambia a:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Ecuación 2
Esta é a ecuación para un fluído compresible. A única diferenza reside na densidade do fluído. Cando un fluído se comprime, a súa densidade cambia. Pola contra, cando un fluído é incompresible, a súa densidade permanece constante e pódese cancelar.
Pregunta de exemplo 1:
A auga flúe a través dunha tubaxe cun diámetro de 10 cm a unha velocidade de 2 m/s. Cal é o caudal de auga?
Discusión
Sábese que:
Diámetro do tubo = 10 cm (este é o diámetro interior do tubo)
Radio da tubaxe (r) = 5 cm = 0,05 m
v auga = 2 m/s
Preguntado: Débito
Resposta:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
Pregunta de exemplo 2:
Unha tubaxe de auga cun diámetro de 20 cm está conectada a outra tubaxe cun diámetro de 10 cm. Se o caudal de auga na tubaxe de 20 cm de diámetro é de 4 m/s, cal é o caudal de auga na tubaxe de 10 cm de diámetro?
Discusión
Sábese que:
Diámetro 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0,1 m)
v² = 4 m/s
Diámetro 2 = 10 cm ( r2 = 5 cm = 0,05 m)
Preguntado: v1
Resposta:
Q1 = Q2
Un 1 contra un 1 = Un 2 contra un 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² ( v² )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v² = 16 m/s
