Principio e ecuación de Bernoulli

Material sobre o principio e as ecuacións de Bernoulli

KCando andamos en moto a bastante velocidade, a roupa que levamos ínchase por detrás. Se aínda non sabes andar en moto, presta atención aos teus pais ou amigos que andan en moto. A parte traseira da súa roupa adoita íncharse por detrás cando a moto vai rápido. Ás veces, cando o vento sopra con forza, a porta da casa pode pecharse soa. Aínda que o vento sopra fóra da casa, a porta está dentro.

Isto pódese explicar usando o principio de Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700–1782) descubriu un principio que se pode usar para explicar algúns dos anteriores.

Principio de Bernoulli

O principio de Bernoulli afirma que cando a velocidade do fluxo de fluído é alta, a presión do fluído é baixa. Pola contra, se a velocidade do fluxo de fluído é baixa, a presión faise alta. Cando unha motocicleta se move rápido, a velocidade do aire diante e ao lado do teu corpo é alta. Polo tanto, a presión do aire faise baixa. A parte traseira do teu corpo está bloqueada pola parte dianteira do teu corpo, polo que a velocidade do aire detrás do teu corpo non cambia a alta (xusto detrás do teu corpo). Como resultado, a presión do aire detrás do teu corpo faise maior. Debido a que hai unha diferenza na presión do aire, onde a presión do aire xusto detrás do teu corpo é maior, o aire empurra a túa camisa cara atrás, facendo que pareza que está inchada por detrás.

Que pasa cunha porta que se pecha soa cando o vento sopra forte cara a fóra? O aire exterior móvese máis rápido que o aire interior. Como resultado, a presión do aire exterior é menor que a presión do aire interior. Debido a esta diferenza de presión, onde a presión do aire interior é maior, a porta é empurrada cara a fóra. Noutras palabras, a porta móvese dun lugar con maior presión de aire a un lugar con menor presión de aire.

Ecuación de Bernoulli

Anteriormente, aprendemos sobre o principio de Bernoulli. Bernoulli tamén desenvolveu este principio cuantitativamente. Para derivar a ecuación de Bernoulli, asumimos un fluxo de fluído laminar estacionario, incompresibilidade e baixa viscosidade, que se poden ignorar.

Na discusión da ecuación de continuidade, aprendemos que o caudal de fluído tamén pode variar dependendo da área da sección transversal do tubo de fluxo. Baseándose no principio de Bernoulli explicado anteriormente, a presión do fluído tamén pode variar dependendo do caudal de fluído. A presión do fluído tamén pode variar dependendo da altura do fluído. A relación entre a presión, o caudal e a altura do fluxo pódese obter a partir da ecuación de Bernoulli.

A ecuación de Bernoulli é moi importante porque se pode empregar para analizar o voo de aeronaves, as centrais hidroeléctricas, os sistemas de tubaxes, etc. Para que a ecuación de Bernoulli que derivaremos se aplique de forma xeral, asumiremos que o fluído flúe a través dun tubo de fluxo con áreas de sección transversal desiguais e tamén diferentes alturas (véxase a figura seguinte). Para derivar a ecuación de Bernoulli, aplicamos o teorema do traballo e a enerxía ao fluído na rexión do tubo de fluxo. A continuación, calcularemos a cantidade de fluído e o traballo realizado para movelo.

A cor opaca no tubo de fluxo da imaxe indica fluxo de fluído mentres que a cor branca indica que non hai fluído.

O fluído na área da sección transversal 1 (lado esquerdo) flúe unha distancia L₁ e forza o fluído na sección transversal 2 (lado dereito) a desprazarse unha distancia L₂Debido a que a área da sección transversal 2 á dereita é menor, o caudal de fluído no lado dereito do tubo de fluxo é maior (lembre a ecuación de continuidade). Isto provoca unha diferenza de presión entre a sección transversal 2 (o lado dereito do tubo de fluxo) e a sección transversal 1 (o lado esquerdo do tubo de fluxo). Lembre o principio de Bernoulli. O fluído á esquerda da sección transversal 1 exerce unha presión P₁ no fluído da dereita e realiza o traballo de:

Entón a ecuación W₁ pódese escribir como:

W₁ =p₁ A₁ L₁

Na sección transversal 2 (lado dereito do tubo de fluxo), o traballo realizado sobre o fluído é:

W₂ = − p₂ A₂ L₂

O signo negativo indica que a forza aplicada é oposta á dirección do movemento. Polo tanto, o fluído realiza traballo á dereita da sección 2. Ademais, a forza da gravidade tamén realiza traballo sobre o fluído. No caso anterior, unha determinada masa de fluído desprázase da sección 1 unha distancia L.₁ á sección transversal 2 ata L₂, onde o volume de fluído na sección transversal 1 (A₁ L₁) = volume de fluído na sección transversal 2 (A₂ L₂). O traballo realizado pola gravidade é:

W₃ = − mg (h₂ - h₁)

W₃ = − mgh₂ + mgh₁)

W₃ = mgh₁ - mgh₂

O signo negativo débese a que o fluído flúe cara arriba, en dirección oposta á gravidade. Polo tanto, o traballo total realizado sobre o fluído, como se mostra na figura anterior, é:

O = O₁ + W₂ + W₃

W = P₁ A₁ L₁ - P.₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

O teorema traballo-enerxía afirma que o traballo total realizado sobre un sistema é igual á variación da súa enerxía cinética. Polo tanto, podemos substituír o traballo (W) pola variación da enerxía cinética (EK).₂ ‐ EK₁).

Podemos reescribir a ecuación anterior como:

W = P₁ A₁ L₁ - P.₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

EK₂ ‐ EK₁ =P₁ A₁ L₁ - P.₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

1⁄2 mV₂² – 1⁄2 mV₁² =P₁ A₁ L₁ - P.₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

Masa do fluído que flúe unha distancia L₁ na sección transversal A₁ = masa de fluído que flúe unha distancia L₂ (sección transversal A₂Unha determinada masa de fluído, por exemplo m, ten un volume de A.₁L₁ e A₂ L₂ onde A₁ L₁ = A₂ L₂ (L₂ máis longo que L₁).

Agora substituímos, ou substituímos m na ecuación anterior por m = ρ AL:

Esta é a ecuación de Bernoulli. Derivamos a ecuación de Bernoulli baseándonos no principio de traballo-enerxía, polo que é unha forma da lei de conservación da enerxía.

Información:

P = Presión

ρ = Densidade do fluído

v = Velocidade do fluxo de fluído

g = Aceleración debida á gravidade

h = Altura do tubo/tubaxe de fluxo desde a superficie do chan

Os lados esquerdo e dereito da ecuación de Bernoulli anterior poden referirse a calquera dous puntos ao longo do tubo de fluxo, polo que podemos reescribir a ecuación anterior como:

Esta ecuación afirma que a suma total das cantidades da ecuación ten o mesmo valor en todo o tubo de fluxo.

Agora revisemos a ecuación de Bernoulli para algúns casos.

Ecuación de Bernoulli para fluídos en repouso

Un caso especial da ecuación de Bernoulli é o dos fluídos en repouso (fluídos estáticos). Cando un fluído está en repouso, non ten velocidade. Polo tanto, v₁ = v₂ = 0. No caso dun fluído en estado estancado, podemos formular a ecuación de Bernouli como:

Se h₂ - h₁ = h, entón esta ecuación pódese escribir como:

p₁ - p.₂ = ρg (h₂ - h₁)

p₁ - p.₂ = ρ gh

Ecuación de Bernoulli para tubos ou tubaxes de fluxo da mesma altura

Se a altura do tubo ou tubaxe de fluxo é a mesma, a ecuación de Bernoulli cambia a: