Stuth Lagha Archimedes
An robh thu riamh air long fhaicinn? Mura faca tu fear gu pearsanta, tha mi an dòchas gun do chunnaic thu fear air an telebhisean no air an eadar-lìon. Cha tèid long le mais mhòr fodha, ach faodaidh creag bheag, aotrom. Carson a tha seo fìor? Tha am freagairt gu math sìmplidh ma thuigeas tu bun-bheachdan fleòdraidh agus prionnsapal Archimedes.
Ann am beatha làitheil, gheibh sinn a-mach gu bheil nas lugha de chuideam air nithean a chuirear ann an lionn, leithid creag, na nuair nach eil an nì anns an lionn. Is dòcha gum bi duilgheadas agad creag a thogail bho uachdar na talmhainn, ach tha an aon chreag furasta a thogail bho bhonn na linne. Tha seo mar thoradh air an fheachd fleòdraidh. Tha fleòdradh a’ tachairt air sgàth an eadar-dhealachaidh ann an cuideam lionn aig diofar dhoimhneachdan. Bidh cuideam lionn ag àrdachadh le doimhneachd, mar as doimhne an lionn, is ann as motha a chuideam. Nuair a chuirear nì ann an lionn, bidh eadar-dhealachadh ann an cuideam eadar an lionn os cionn an nì agus an lionn foidhpe. Tha cuideam nas motha air an lionn a tha suidhichte aig bonn an nì na air an lionn a tha suidhichte aig mullach an nì.
Snàmhachd
Anns an ìomhaigh, chithear nì a’ fleòdradh ann an uisge. Tha cuideam nas motha aig an lionn fon nì na tha aig an lionn os a chionn. Tha seo air sgàth gu bheil doimhneachd nas motha aig an lionn fon nì na tha aig an lionn os a chionn (u2 > uair1).
F2 = feachd a chuireas an leaghan air bonn an nì, F1 = feachd a chuireas an leaghan air mullach an nì, A = farsaingeachd uachdar an nì
Is e an diofar eadar F2 agus F1 an fheachd iomlan a chuireas an leaghan air an nì, ris an canar an fheachd-fleòdraidh. Is e meud na feachd-fleòdraidh:
F buadhachd = F2 − F1
F buidheach = ( ρ gh 2 A ) − ( ρ gh 1 A)
F snàmh = ρ g A ( h 2 − h 1 )
F buadhachd = ρ g A h
F buachd = ρ g V
Fiosrachadh:
ρ = dùmhlachd lionn
g = luathachadh mar thoradh air grabhataidh
V = meud an nì anns an leaghan
gus an gabh an co-aontar a tha ag innse meud an fheachd-fleòdraidh (F-fleòdraidh) gu h-àrd a sgrìobhadh mar:
F snàmh = ρ F g V → m = ρ V
F buachd = m F g
F buachd = w F
m F g = w F = cuideam lionn aig a bheil an aon tomhas-lìonaidh ri tomhas-lìonaidh an nì a tha fon uisge.
Eisimpleir de fheachd-fleòdraidh
Prionnsabal Archimedes
Stèidhichte air a’ cho-aontar gu h-àrd, is urrainn dhuinn a ràdh gu bheil an fheachd fleòdraidh co-ionann ri cuideam an leaghan a chaidh a ghluasad, agus gu bheil meud an leaghan a chaidh a ghluasad co-ionann ri meud an nì a tha air a bogadh san leaghan.
Ma thèid nì a bhogadh ann an lionn agus ma bhios e a’ fleòdradh, le dìreach pàirt den nì fon uisge, bidh meud an lionn a chaidh a ghluasad co-ionann ri meud a’ phàirt den nì a tha fon uisge san lionn. Ge bith dè an cumadh no meud a th’ air an nì, tachraidh an aon rud dha na h-uile. Is e seo obair Archimedes (287-212 RC), ris an canar a-nis Prionnsabal Archimedes.
Tha prionnsabal Archimedes ag ràdh:
Nuair a bhios nì air a bhogadh gu tur no ann am pàirt ann an lionn, cuiridh an lionn feachd suas (feachd fleòdraidh) air an nì, far a bheil meud na feachd suas (feachd fleòdraidh) co-ionann ri cuideam an lionn a chaidh a ghluasad.
Sgeulachd Archimedes
Chaidh Archimedes, a bha beò eadar 287 agus 212 RC, a choimiseanadh leis an Rìgh Hieron II gus sgrùdadh a dhèanamh an robh crùn a chaidh a dhèanamh airson an rìgh air a dhèanamh de òr fìor-ghlan. Bha Archimedes troimh-chèile an toiseach a bheil a’ chrùn air a dhèanamh de òr fìor-ghlan no an robh meatailtean eile innte. B’ e an duilgheadas gu robh cumadh neo-riaghailteach air a’ chrùn agus nach b’ urrainnear a sgrios gus faighinn a-mach an robh e na òr fìor-ghlan.
Is e am beachd air cùl co-dhùnadh a bheil crùn rìgh air a dhèanamh de òr fìor-ghlan, an toiseach tomhas sònraichte na crùin a dhearbhadh agus an uairsin coimeas a dhèanamh eadar sin agus tomhas sònraichte an òir. Ma tha an crùn air a dhèanamh de òr fìor-ghlan, is e tomhas sònraichte na crùin tomhas sònraichte an òir.
Is e grabhataidh shònraichte nì an co-mheas eadar cuideam an nì san adhar agus cuideam uisge leis an aon tomhas-lìonaidh ris an nì. Gu matamataigeach, tha e sgrìobhte mar a leanas:
Ciamar a dh’obraicheas tu a-mach cuideam uisge aig a bheil an aon tomhas-lìonaidh ri tomhas-lìonaidh nì?
A rèir Archimedes, is e cuideam uisge leis an aon tomhas-lìonaidh ri tomhas-lìonaidh an nì meud an fheachd-fleòdraidh nuair a thèid an nì fodha (tha an nì gu lèir fon uisge). Tha seo co-ionann ri cuideam an nì a chaidh a chall nuair a thèid a thomhas ann an uisge. Mar sin:
Gus cuideam sònraichte a’ chrùin a dhearbhadh, thèid a’ chrùn a thomhas an toiseach ann an èadhar (Cuideam a’ Chrùin ann an Adhar). An uairsin, thèid a’ chrùn a chur ann an uisge agus an uairsin a thomhas a-rithist gus cuideam a’ chrùin a chaidh a chall fhaighinn. Mar sin:
Cho luath ‘s a gheibhear grabhataidh shònraichte a’ chrùin, thèid a choimeas ri grabhataidh shònraichte an òir. Tha grabhataidh shònraichte an òir 19,3. Ma tha grabhataidh shònraichte a’ chrùin co-ionann ri grabhataidh shònraichte an òir, tha an crùn air a dhèanamh de òr fìor-ghlan. Ach, mura h-eil an crùn air a dhèanamh de òr fìor-ghlan, cha bhi grabhataidh shònraichte a’ chrùin mar an ceudna ri grabhataidh shònraichte an òir.
Carson nach bi bàtaichean a’ dol fodha?
Ma tha dùmhlachd nì nas lugha na dùmhlachd uisge, bidh an nì a’ fleòdradh. Air an làimh eile, ma tha dùmhlachd nì nas motha na dùmhlachd uisge, bidh an nì a’ dol fodha. Tha a’ mhòr-chuid de shoithichean air an dèanamh le iarann is stàilinn. Tha dùmhlachd iarainn is stàilinn = 7,8 x 103 kg /m3 agus dùmhlachd uisge = 1,00 x 103 kg /m3 . Tha e coltach gu bheil dùmhlachd iarainn is stàilinn nas motha na dùmhlachd uisge. Anns a’ chùis seo, is e 7,8 grabhataidh shònraichte iarainn is stàilinn. Bu chòir do shoithichean air an dèanamh le iarann is stàilinn dol fodha. Carson nach bi soithichean a’ dol fodha? Tha dùmhlachd iomlan na luinge nas lugha na dùmhlachd uisge no uisge na mara.
Eisimpleirean de cheistean air lagh Archimedes
Eisimpleir ceist 1:
Tha creag 40 kg aig bonn linne. Ma tha meud na creige = 0,2 m³ , dè an fheachd as lugha a dh’fheumar gus a’ chreag a thogail?
Deasbad
Tha fios gu bheil:
Tomad na cloiche (m) = 40 Kg
Meud na cloiche (V) = 0,02 m³
Dlùths uisge = 1000 Kg/ m³
Luathachadh air sgàth grabhataidh (g) = 10 m/ s²
Air a faighneachd: F as ìsle
Freagairt:
F buachd = w F
F buadhachd = m F g → m = pV
F buadhachd = ρ F g V
F buadhachd = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0,02 m³ )
F buachd = 200 kg m/ s²
F buadhachd = 200 N
Cuideam na cloiche (w) = mg
Cuideam na cloiche = (40 kg)(10 m/ s² )
Cuideam na cloiche = 400 kg m/ s²
Cuideam na cloiche = 400 N
An fheachd as lugha a dh’fheumar gus creag a thogail:
Cuideam cloiche – Feachd fleòdraidh = 400 N – 200 N = 200 Newton.
Eisimpleir ceist 2:
Cuideam nì san adhar = 5000 kg m/s² agus cuideam an nì san uisge = 4000 kg m/s² . Ma tha dùmhlachd an nì = 2000 kg/m³ , dè an tomad agus an tomhas-lìonaidh a th’ ann? g = 10 m/ s²
Deasbad
Luathachadh air sgàth grabhataidh (g) = 10 m/ s²
Dlùths an nì = 2000 kg/ m³
Dlùths uisge = 1000 kg/ m³
Cuideam nì san adhar = 5000 kg m/ s²
Cuideam nì ann an uisge = 4000 kg m/ s²
Feachd-buoyant (F buoyant) = Cuideam nì san adhar – Cuideam nì san uisge
F buadhachd = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F buachd = 1000 kg m/ s²
F buachd = Cuideam uisge air a ghluasad
F buachd = (tomad uisge)(g)
F buachd = (meud uisge air a ghluasad)(dùmhlachd uisge)(g)
Meud uisge air a ghluasad = Meud nì air a bhogadh ann an uisge 😉
Mar sin tha meud an nì = 0,1 m³
Tomad an nì = ?
ρ = m / V
m = ρ V
m = ( 2000 kg / m 3 ) ( 0,1 m 3 )
m = 200 kg
Tomad an nì = 200 kg
Eisimpleir ceist 3:
Dè an tomhas-lìonaidh helium a tha a dhìth ma dh'fheumas bailiùn luchd de 500 kg a thogail?
Deasbad
Dlùths helium = 0,1786 kg/ m³
Dlùths adhair = 1,293 kg/ m³
Feachd-snàmhaidh = Cuideam an èadhair a chaidh a ghluasad = Cuideam an luchd + Cuideam helium
Feachd-snàmh = Cuideam an luchd + cuideam helium
Feachd-fleòdraidh = (tomad an luchd)(g) + (tomad helium)(g)
Feachd-fleòdraidh = (mais an luchd + mais helium)g —- co-aontar 1
Feachd-fleòdraidh = Cuideam an èadhair a chaidh a ghluasad
Feachd-fleòdraidh = (tomad an èadhair a chaidh a ghluasad)(g) —- co-aontar 2
Bidh sinn a’ cothlamadh co-aontar 1 agus co-aontar 2:
(tomad an luchd + tomad helium)(g) = (tomad an èadhair a chaidh a ghluasad)(g)
mais an luchd + mais helium = mais an èadhair a chaidh a ghluasad
500 kg + (ρ helium)(V helium) = (ρ èadhar)(V èadhar)
500 kg = (ρ èadhar)(V èadhar) – (ρ helium)(V helium)
Meud an èadhair a chaidh a ghluasad (V èadhair) = Meud an helium a lìonas am bailiùn (V helium)
500 kg = (ρ air – ρ helium)(V)
Is e seo an tomhas-lìonaidh as lugha de helium a dh’fheumar gus cuideam a thogail aig uachdar na Talmhainn. Gus leigeil leis a’ bhalùn seòladh nas àirde, feumar meud an helium a mheudachadh. Tha seo air sgàth gu bheil dùmhlachd an adhair a’ lùghdachadh le àirde.
