Eisimpleir de cheist deasbaid air an t-atharrachadh de ghnìomh ailseabrach
’S e bun-bheachd a th’ anns an t-atharrachadh ann an àireamhachd a thathar a’ cleachdadh gus cunntas a thoirt air mar a dh’atharraicheas gnìomh, no leathad gnìomh aig puing. Tha atharrachaidhean feumail ann an diofar raointean leithid fiosaig, eaconamas agus innleadaireachd oir bheir iad seachad fiosrachadh mu ìre atharrachaidh. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de atharrachaidhean de ghnìomhan ailseabra agus mar a dh’fhuasglas sinn iad.
Eisimpleir 1: Toradh Gnìomh Polainomach
Ceist: Ma tha an gnìomh \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) air a thoirt seachad. Obraich a-mach an t-atharrachadh a tha aig a’ ghnìomh!
Fuasgladh:
A’ cleachdadh riaghailt bhunasach nan toraidhean airson gnìomhan poileanomach, is e sin \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), obraichidh sinn a-mach an toradh airson gach teirm den ghnìomh aon às dèidh a chèile.
\[
tòisich{co-thaobhadh}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) & = 3 ⋅ 3x^{3-1} – 5 ⋅ 2x^{2-1} + 2 ⋅ 1x^{1-1} – 0
f'(x) & = 9x^2 – 10x + 2.
\end{ailinich}
\]
Mar sin, is e an t-atharrachadh de \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Eisimpleir 2: Toradh Gnìomh le Eas-chomainn Bloigheach
Ceist: Obraich a-mach an t-atharrachadh den ghnìomh \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Fuasgladh:
A’ cleachdadh an aon riaghailt às-tharraing, is e sin \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
tòisich{co-thaobhadh}
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) & = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) & = ∫3/2x⁻⁷ + ∫1/2x⁻⁷.
\end{ailinich}
\]
Mar sin, is e an t-atharrachadh de \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Eisimpleir 3: Toraidhean de Ghnìomhan Eas-chruthach agus Triantan-eòlach
Ceist: Obraich a-mach an t-atharrachadh den ghnìomh (h(x) = e^x sin(x)).
Fuasgladh:
Gus an t-atharrachadh seo fhuasgladh, feumaidh sinn Riaghailt an Toraidh, a tha ag ràdh \((uv)' = u'v + uv'\). Ma ghabhas sinn ris \(u(x) = e^x \) agus \(v(x) = \sin(x) \), an uairsin:
\[
tòisich{co-thaobhadh}
u'(x) &= e^x, & \text{oir is e } e^x \\ an t-atharrachadh de } e^x \\
v'(x) & = \cos(x), & oir is e \cos(x) an t-atharrachadh de sin(x).
\end{ailinich}
\]
A’ cleachdadh an riaghailt thùsail airson toraidhean:
\[
tòisich{co-thaobhadh}
h'(x) & = (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x (sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)'
&= e^x ⋅cos(x) + sin(x) ⋅e^x
&= e^x (cos(x) + sin(x)).
\end{ailinich}
\]
Mar sin, is e an t-atharrachadh de (h(x) = e^x agus sin(x)) (h'(x) = e^x (cos(x) + sin(x)).
Eisimpleir 4: Toradh Gnìomh a’ cleachdadh Riaghailt na Slabhraidh
Ceist: Obraich a-mach an t-atharrachadh den ghnìomh \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Fuasgladh:
Gus an t-atharrachadh seo fhuasgladh, feumaidh sinn an riaghailt slabhraidh, is e sin \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) ≥ g'(x)). Ma tha \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) agus \( f(u) = u^5 \), an uairsin:
\[
tòisich{co-thaobhadh}
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) & = 3x^2 – x + 4, & \text{so} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) & = 5u^4 ⋅ u'(x)
u'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{ailinich}
\]
A’ cleachdadh riaghailt na slabhraidh:
\[
tòisich{co-thaobhadh}
k'(x) & = 5(3x^2 – x + 4)^4 ∫(6x – 1)
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{ailinich}
\]
Mar sin, is e an t-atharrachadh de \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
Eisimpleir 5: Toradh Gnìomh le Dearbh-aithnean Triantan-eòlach
Ceist: Obraich a-mach an t-atharrachadh den ghnìomh \(m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Fuasgladh:
Cleachdaidh sinn riaghailt an toraidh airson toraidhean. Ma tha u(x) = sin(x) agus v(x) = cos(x), an uairsin:
\[
tòisich{co-thaobhadh}
u'(x) & = \cos(x), \\
v'(x) & = -\sin(x).
\end{ailinich}
\]
A’ cleachdadh an riaghailt thùsail airson toraidhean:
\[
tòisich{co-thaobhadh}
Tha m'(x) & = (sin(x) \cdot \cos(x))'
&= (\sin(x))' ⋅cos(x) + \sin(x) ⋅(\cos(x))'
& = ∫cos(x)∫cos(x) + ∫sin(x)∫(-sin(x))
&= ∫cos²(x) – ∫sin²(x).
\end{ailinich}
\]
A’ cleachdadh an dearbh-aithne thrigonometric _(cos(2x) = _cos^2(x) – _sin^2(x)_):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
Mar sin, is e (m'(x) = cos(2x)) an t-atharrachadh de \(m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Co-dhùnadh
’S e bun-bheachd ann an àireamhachd a th’ ann an toraidh gnìomh ailseabra, rud a tha glè chudromach agus feumail ann an diofar chleachdaidhean. Bidh diofar riaghailtean toraidh, leithid riaghailt an toraidh bhunasach, riaghailt an toraidh, riaghailt an t-slabhraidh, agus na riaghailtean airson toraidhean trigonometric, uile a’ cuideachadh le bhith ag obrachadh a-mach toraidhean ghnìomhan nas iom-fhillte. Le bhith a’ tuigsinn nan eisimpleirean gu h-àrd agus a’ cleachdadh cheistean, is urrainn dhuinn ar tuigse agus ar sgilean ann a bhith a’ gabhail toraidhean de ghnìomhan ailseabra a leasachadh.
