Eisimpleirean de Cheistean is Deasbad Triantanachd
'S e meur de mhatamataig a th' ann an triantanachd a bhios a' sgrùdadh a' cheangail eadar ceàrnan agus faid taobhan ann an triantan. Tha tuigse air bun-bheachdan triantanachd deatamach ann an grunn thagraidhean, bho fiosaig agus innleadaireachd gu reul-eòlas agus cruinn-eòlas. San artaigil seo, mìnichidh sinn grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus mìneachaidhean coileanta gus tuigse a chuideachadh.
Eisimpleir Ceist 1: A’ tomhas taobhan triantan a’ cleachdadh an dòigh sine
Ceist:
Ma tha triantan ABC ann, le ceàrn A = 30°, ceàrn B = 45°, agus taobh b = 10 cm. Obraich a-mach fad taobh a.
Deasbad:
Cleachd lagh nan sines:
[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]
Cuir a-steach luachan aithnichte:
[\frac{a}{\sin 30°} = \frac{10}{\sin 45°} \]
Tha fios againn gu bheil:
[sin 30° = \frac{1}{2} \]
[sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
A-nis, cuir na luachan seo an àite a’ cho-aontar:
[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Sìmplich an co-aontar:
[2a = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
[2a = \frac{20}{\sqrt{2}} \]
Reusanachadh an t-ainmiche:
[2a = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
[2a = 10\sqrt{2}]
[a = 5\sqrt{2}]
Mar sin, is e fad taobh a 5 cm.
Eisimpleir Ceist 2: A’ tomhas ceàrnan a’ cleachdadh an dòigh cosine
Ceist:
Tha taobhan triantan a = 7 cm, b = 10 cm, agus c = 5 cm. Obraich a-mach meud ceàrn C.
Deasbad:
Cleachd lagh nan cosines:
[c² = a² + b² – 2ab cos C]
Cuir a-steach luachan aithnichte:
[5^2 = 7^2 + 10^2 – 2 ⋅ 7 ⋅ 10 ⋅ cos C]
Sìmplich an co-aontar:
\[ 25 = 49 + 100 - 140 \ cos C \]
[25 = 149 – 140 \cos C \]
Gluais 149 chun an taobh chlì:
\[ 25 - 149 = -140 \ cos C \]
[-124 = -140 cos C]
[cos C = \frac{124}{140} \]
[cos C = \frac{62}{70} \]
[cos C = \frac{31}{35} \]
Cleachd àireamhair gus \( \cos^{-1} \) (cosine inbhireach) a lorg:
[C timcheall air cos^{-1}(frac{31}{35})]
[C \timcheall air 25.84° \]
Mar sin, tha meud ceàrn C mu 25.84°.
Eisimpleir Ceist 3: A’ tomhas àirde agus farsaingeachd triantan
Ceist:
Tha dà thaobh aig triantan le fad a = 6 cm agus b = 8 cm le ceàrn eatorra, _(\theta\) = 60°. Obraich a-mach àirde agus farsaingeachd an triantain.
Deasbad:
1. A’ tomhas farsaingeachd triantan:
Cleachd am foirmle airson farsaingeachd triantan:
\[ \text{Farsaingeachd} = \frac{1}{2} ab \sin \theta \]
Cuir a-steach na luachan aithnichte:
[Farsaingeachd = \frac{1}{2} 6 \cdot 8 \cdot \sin 60°]
Tha fios againn gu bheil:
[sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Mar sin:
[ Farsaingeachd = \frac{1}{2} 6 \cdot 8 \frac{\sqrt{3}}{2} \]
[ Farsaingeachd = \frac{1}{2} 6 \cdot 8 \frac{\sqrt{3}}{2} \]
[\text{Farsaingeachd} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Farsaingeachd} = 12\sqrt{3} \]
Mar sin, is e farsaingeachd an triantain 12 cm².
2. A’ tomhas àirde triantan bhon bhunait a:
Gus àirde triantan obrachadh a-mach, comharraich an àirde mar h agus cleachd am foirmle farsaingeachd:
\[ \text{Farsaingeachd} = \frac{1}{2} \times a \times h \]
[12 sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times h \]
[12\sqrt{3} = 3h]
[h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \]
[h = 4\sqrt{3}]
Mar sin, tha àirde an triantain 4 cm.
Eisimpleir Ceist 4: A’ dearbhadh taobhan triantan ceart-cheàrnach
Ceist:
Ann an triantan ceart-cheàrnach, le ceàrn _(\theta\) = 30° agus taobh co-shìnte ceàrn _(\theta\) 5 cm, obraich a-mach fad an hipotenuse.
Deasbad:
Cleachd na co-mheasan trigonometric airson ceàrn 30° ann an triantan ceart-cheàrnach:
[sin \theta = \frac{\text{front}}{\text{hypotenuse}}]
[sin 30° = \frac{aghaidh}{hipotenuse} = \frac{5}{\text{hipotenuse}}]
Tha fios againn gu bheil:
[sin 30° = \frac{1}{2} \]
Mar sin:
[ \frac{1}{2} = \frac{5}{\text{hypotenuse}}]
\[ \text{hipotenuse} = 10 \]
Mar sin, tha fad an hypotenuse 10 cm.
Eisimpleir Ceist 5: A’ tomhas ceàrnan le gnìomhan triantan-eòlach
Ceist:
Ma tha \(tan \theta = \frac{3}{4} \), obraich a-mach meud a’ cheàirn \(\theta\).
Deasbad:
A’ cleachdadh foirmle an tangent neo-dhìreach:
[\theta = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) \]
Le cuideachadh bho àireamhair:
[Theta timcheall air 36.87°]
Mar sin, tha meud a’ cheàirn \(\theta\) mu 36.87°.
Co-dhùnadh
’S e bun-bheachd matamataigeach farsaing a th’ ann an triantanachd le iomadh cleachdadh thar diofar raointean. Le bhith a’ tuigsinn mar a chleachdas sinn laghan nan sines, nan cosines, agus gnìomhan bunaiteach eile, bidh e comasach dhuinn measgachadh de dhuilgheadasan a tha a’ buntainn ri triantan agus ceàrnan fhuasgladh. Tro na h-eisimpleirean gu h-àrd, thathar an dòchas gum faigh luchd-leughaidh tuigse nas doimhne agus gum bi e comasach dhaibh a chur an sàs ann an diofar shuidheachaidhean a dh’ fheumas tuigse air triantanachd.
