Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Co-mheasan Triantan-eòlach
'S e meur de mhatamataig a th' ann an triantanachd a bhios a' sgrùdadh nan dàimhean eadar taobhan agus ceàrnan triantan. Is e aon taobh cudromach de thriantanachd tuigse fhaighinn air co-mheasan triantanachd, a' gabhail a-steach sine (sin), cosine (cos), agus tangent (tan). Bruidhnidh an t-artaigil seo air grunn eisimpleirean de cho-mheasan triantanachd agus na mìneachaidhean mionaideach aca gus tuigse mhionaideach a thoirt do bhun-bheachdan triantanachd.
Eisimpleir Ceist 1: A’ tomhas luachan Sin, Cos, agus Tan
Ceist:
Thèid iarraidh air oileanach luachan sin, cos, agus tan a’ cheàirn _(\heta\) a lorg ann an triantan ceart-cheàrnach, ma tha fad an taobh mu choinneamh (an ceàrn mu choinneamh _(\heta\)) 3 cm, fad an taobh ri thaobh (bonn) 4 cm, agus fad an hipotenuse (hypotenuse) 5 cm.
Deasbad:
Is e a’ chiad cheum gach taobh a tha buntainneach don cheàrn a chaidh a thoirt seachad a chomharrachadh. Mar a tha fios againn, ann an triantan ceart-cheàrnach le taobhan de thrioblaidean clasaigeach Pythagorean (3, 4, 5), is urrainn dhuinn foirmlean trigonometric bunaiteach a chleachdadh gu dìreach.
– ’S e sine (sin) an co-mheas eadar fad an taobh mu choinneamh agus an hypotenuse.
\[
sin(θ) = \frac{taobh aghaidh}}{\text{hipotenuse}} = \frac{3}{5}
\]
– ’S e cosine (cos) an co-mheas eadar fad an taobh ri thaobh agus an hypotenuse.
\[
cos(θ) = taobh ri taobh agus taobh beag = 4 agus 5
\]
– ’S e tangent (tan) an co-mheas eadar fad an taobh aghaidh agus an taobh.
\[
tan(\theta) = \frac{\text{taobh aghaidh}}{\text{taobh}} = \frac{3}{4}
\]
Mar sin, is iad luachan nan co-mheasan trigonometric airson a’ cheàirn _(_theta_):
\[
sin(θ) = \frac{3}{5}, cos(θ) = \frac{4}{5}, tan(θ) = \frac{3}{4}
\]
Eisimpleir Ceist 2: A’ lorg taobhan triantan a’ cleachdadh co-mheasan triantan-eòlach
Ceist:
Ma tha triantan ceart-cheàrnach againn le ceàrn α = 30°. Ma tha fad taobh mu choinneamh ceàrn α 4 cm, obraich a-mach fad an taobh eile.
Deasbad:
A’ cleachdadh luachan co-mheas trigonometric airson a’ cheàirn 30°C:
– (sin(30°C) = frac{1}{2})
\[
sin(30^\circ) = \frac{\text{taobh aghaidh}}{\text{hipotenuse}} = \frac{4}{\text{hipotenuse}}
\]
\[
Tha an taobh-taobh den mhullach = 4/sin(30°) = 4/1/2 = 8 cm
\]
– (cos(30^circ) = (frac{sqrt{3}}{2})
\[
cos(30^circ) = \frac{\text{taobh ri thaobh}}{\text{hipotenuse}} = \frac{\text{taobh ri thaobh}}{8}
\]
\[
Taobh taobh = 8 cos(30^circ) = 8 × 3/2 = 4 cm
\]
Mar sin, tha fad an taobh eile 4 cm agus tha an hypotenuse 8 cm.
Eisimpleir 3: A’ cleachdadh Triantanachd ann an Co-chomharran Cairtesian
Ceist:
Obraich a-mach luachan sin, cos, agus tan airson a’ phuing _(P(3, 4)_) ann an co-chomharran Cartesian ma tha a’ phuing a’ cruthachadh ceàrn _(\theta\) leis an x-axis dheimhinneach ann an ceathramh I.
Deasbad:
An toiseach, obraich a-mach astar a’ phuing \(P(3, 4)\) bhon thùs (O), is e sin hypotenuse an triantain a chaidh a chruthachadh.
– Faodar an hipotenuse (\(r\)) obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh teòirim Phìothagoras:
\[
r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \ sqrt{9 + 16} = \ sqrt{25} = 5
\]
An uairsin, faodar triantanachd puing P obrachadh a-mach mar a leanas:
– ’S e sine (sin) an co-mheas eadar an co-òrdan (y) agus an hypotenuse (r):
\[
sin(θ) = y/r = 4/5
\]
– ’S e cosine (cos) an co-mheas eadar an abscissa (x) agus an hypotenuse (r):
\[
cos(θ) = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}
\]
– ’S e tangant (tan) an co-mheas eadar an co-òrdanachadh (y) agus an abscissa (x):
\[
tan(θ) = \frac{y}{x} = \frac{4}{3}
\]
Mar sin, is iad na luachan trigonometric airson puing P:
\[
sin(θ) = \frac{4}{5}, cos(θ) = \frac{3}{5}, tan(θ) = \frac{4}{3}
\]
Eisimpleir Ceist 4: A’ cleachdadh dearbh-aithnean triantan-eòlach
Ceist:
Ma tha sin(heta) = frac{3}{5}), lorg luach cos(heta) a’ cleachdadh an dearbh-aithne thrigonometric (sin²(heta) + cos²(heta) = 1).
Deasbad:
Bidh sinn a’ tòiseachadh le dearbh-aithne trigonometric bunaiteach:
\[
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
\]
Ma tha sin (theta) = (3/5), an uairsin:
\[
sin^2(θ) = (frac{3}{5})^2 = (frac{9}{25})
\]
\[
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
\]
\[
\frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1
\]
\[
cos^2(θ) = 1 – \frac{9}{25} = \frac{25}{25} – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]
\[
cos(θ) = pm sqrt{16}{25} = pm frac{4}{5}
\]
Faodaidh luach \( \cos(\theta) \) a bhith deimhinneach no àicheil a rèir a’ cheathramh anns a bheil an ceàrn \(\theta\). Ach airson na trioblaid seo às aonais mìneachadh soilleir air a’ cheathramh, bidh sinn a’ cleachdadh \(\cos(\theta) = \frac{4}{5}\) airson ceathramh I no \(-\frac{4}{5}\) airson ceathramhan II, III, no IV.
Co-dhùnadh
Tha tuigse air co-mheasan trigonometric deatamach airson diofar dhuilgheadasan a tha a’ buntainn ri ceàrnan agus faid ann an triantanan fhuasgladh. Le bhith a’ cleachdadh fuasgladh dhuilgheadasan mar an tè gu h-àrd, faodaidh tu do chomas air na dàimhean eadar taobhan agus ceàrnan ann an triantanan obrachadh a-mach agus a thuigsinn a leasachadh. Tha trigonometric air a chur an sàs chan ann a-mhàin ann am matamataig fìor-ghlan ach cuideachd ann an diofar raointean saidheans leithid fiosaig, innleadaireachd agus reul-eòlas. Cleachdadh sona dhut!
