Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Phenomena Cuantum
Tha iongantas cuantamach, no iongantas a tha fo smachd meacanaig cuantamach, a’ gabhail a-steach raon farsaing de bhun-bheachdan agus phrionnsabalan a dh’ fheumas tuigse dhomhainn agus iom-fhillteachd matamataigeach. Tha meacanaig cuantamach na mheur de fiosaig a tha a’ toirt cunntas air giùlan mìrean fo-atamach, leithid dealanan agus fotonan, nach gabh a mhìneachadh le fiosaig chlasaigeach. San artaigil seo, nì sinn sgrùdadh air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus na fuasglaidhean aca co-cheangailte ri iongantas cuantamach gus cuideachadh le bhith a’ tuigsinn phrionnsabalan bunaiteach meacanaig cuantamach.
Eisimpleir Ceist 1: Prionnsabal Neo-chinnteachd Heisenberg
Ceist:
Tha fios gu bheilear a’ tomhas suidheachadh dealgan ann an dadam le cruinneas de Δx = 0.1 nm. Obraich a-mach an ìre as lugha de mhì-chinnt ann a bhith a’ tomhas gluasad an dealgan (Δp) a’ cleachdadh prionnsabal mì-chinnt Heisenberg.
Freagairt:
Tha prionnsabal neo-chinnt Heisenberg ag ràdh:
\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
far a bheil _( \hbar \) na sheasmhach Planck lùghdaichte, leis an luach _( \hbar \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ Js} \).
Cuir (Δx = 0.1 nm = 0.1 × 10-9 m) na àite:
\[ \Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x} \]
[Δp = geq 1.054 × 10⁻⁴}{2 × 0.1 × 10⁻⁴]
[Δp = geq 1.054 × 10⁻⁴}{2 × 10⁻⁴]
[Δp geq 1.054 × 10⁻⁴}{2 × 10⁻⁴ = 5.27 × 10⁻⁴ (kg m/s)]
Mar sin is e 5.27 × 10⁻⁸ kg m/s an neo-chinnteachd as lugha ann a bhith a’ tomhas gluasad nan dealanach.
Eisimpleir Ceist 2: Lùth Comasach ann am Bogsa (Gràin ann am Bogsa)
Ceist:
Tha mìrean le mais m glaiste ann am bogsa aon-thaobhach le fad L. Dè an lùth bunaiteach (lùth staid na talmhainn) a th’ aig a’ mhìrean?
Freagairt:
Tha lùth bunaiteach (lùth staid na talmhainn) mìrean ann am bogsa aon-mheudach air a thoirt seachad leis a’ cho-aontar:
[E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} \]
Airson an staid bhunaiteach (\(n=1 \)):
[E_1 = \frac{h^2}{8mL^2} \]
far a bheil h na sheasmhachd Planck (h timcheall air 6.626 × 10⁻⁴ Js)).
Ma tha (m = 9.109 × 10⁻¹ kg (mais an dealanach) agus (L = 1 × 10⁻¹ m):
[E_1 = (6.626 × 10⁻⁴)^2}{8 × 9.109 × 10⁻⁴ -31) × (1 × 10⁻⁴)^2]
[E_1 = \frac{4.39 \times 10^{-67}}{7.287 \times 10^{-50}}]
[E_1 = 6.02 × 10^{-18} J]
Mar sin is e lùth bunaiteach a’ ghràin (6.02 × 10⁻⁶ J).
Eisimpleir 3: Obrachaidhean Obraiche Hamiltonian air Gnìomhan Tonn
Ceist:
Is e gnìomh tonn mìrean ann am bogsa aon-thaobhach _( \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \) airson _(n=1,2,3,\ldots \). Obraich a-mach lùth a’ mhìrean a’ cleachdadh an obraiche Hamiltonian _( \hat{H} \).
Freagairt:
Is e an obraiche Hamiltonian ann an aon tomhas:
[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \]
Feumaidh sinn an obraiche Hamiltonian a chur an sàs anns a’ ghnìomh tonn \( \psi(x) \):
[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
A’ chiad thoradh de π(x):
[ \frac{d}{dx} \clì( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\clì( \frac{nπx}{L} \deas) \deas) = \sqrt{\frac{2}{L} \clì( \frac{nπ}{L} \cos\clì( \frac{nπx}{L} \deas) \deas) \]
An dàrna tùs:
[ \frac{d^2}{dx^2} \clì( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\clì( \frac{nπ}{L} \deas) \deas) = \sqrt{\frac{2}{L}} \clì( -\clì( \frac{nπ}{L} \deas)^2 \sin\clì( \frac{nπx}{L} \deas) \deas) \]
[ \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{nπx}{L} \right)) = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{nπx}{L} \right)]
A-nis, cuir an toradh air ais a-steach don obraiche Hamiltonian:
[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]
Às an seo, chì sinn sin:
[\hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \psi(x) \]
Mar sin, is e lùth nam mìrean:
\[ E_n = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \]
Abair gu bheil sinn airson an lùth a lorg airson \(n=1 \):
\[ E_1 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \]
Co-dhùnadh
Feumaidh tuigse làidir air prionnsapalan bunaiteach meacanaig cuantamach, leithid prionnsapal mì-chinnt Heisenberg agus lùth mìrean ann am bogsa comas, a bhith ann gus fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan co-cheangailte ri iongantas cuantamach. Tro ghrunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus na còmhraidhean mun deidhinn, tha sinn an dòchas cuideachadh le bhith a’ neartachadh bun-bheachdan meacanaig cuantamach agus a cleachdaidhean ann an diofar shuidheachaidhean fiosaig. Ged a dh’ fhaodadh meacanaig cuantamach a bhith coltach ri bhith iom-fhillte, cuidichidh duilgheadasan cleachdaidh agus tuigse bhun-bheachdail gu mòr le bhith a’ maighstireachd an stuth bhunaiteach seo.
