Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Mìneachadh Cearcaill
’S e an cearcall aon de na cumaidhean geoimeatrach bunaiteach a choinnicheas sinn gu tric ann am beatha làitheil. Ann am matamataig, tha mìneachaidhean agus feartan sònraichte aig cearcallan. Nì an t-artaigil seo sgrùdadh domhainn air mìneachadh cearcaill agus na h-eileamaidean co-cheangailte ris, a bharrachd air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus na fuasglaidhean aca a thoirt seachad gus ar tuigse air cearcallan a dhoimhneachadh.
Mìneachadh air Cearcall
Is e cearcall seata nan uile phuingean ann am plèana a tha aig an aon astar bho phuing stèidhichte ris an canar meadhan a’ chearcaill. Canar radius a’ chearcaill ris an astar eadar am meadhan agus puing sam bith air a’ chearcall. Tha co-aontar coitcheann cearcaill le meadhan aig puing \((h, k)\) agus radius \(r\) air a thoirt seachad le:
[(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2]
An sin:
– \((h, k)\) nan co-chomharran aig meadhan a’ chearcaill,
– Is e \(r\) radius a’ chearcaill,
– ’S iad \(x\) agus \(y\) co-chomharran puing sam bith air a’ chearcall.
Eileamaidean Cearcaill
Mus tèid sinn a-steach do na ceistean eisimpleireach, ’s e deagh bheachd a th’ ann cuid de na h-eileamaidean cudromach sa chearcall aithneachadh:
1. Meadhan Cearcaill: Puing stèidhichte a tha na mheadhan air na puingean uile a tha an aon astar bho chèile.
2. Radius (r): An t-astar bho mheadhan a’ chearcaill gu puing sam bith air a’ chearcall.
3. Trast-thomhas (d): Loidhne dhìreach a thèid tro mheadhan a’ chearcaill agus a cheanglas dà phuing air a’ chearcall, aig a bheil fad dà uair an radius (\(d = 2r\)).
4. Arc: Am pàirt de chearcall-thomhas cearcaill a tha eadar dà phuing air a’ chearcall.
5. Corda: Loidhne dhìreach a cheanglas dà phuing air cearcall ach nach eil a’ dol tron mheadhan.
6. Apothem: An t-astar as giorra bho mheadhan cearcaill gu corda.
7. Ceàrn Meadhanach: An ceàrn a chruthaichear le dà radii bhon mheadhan den chearcall.
8. Ceàrn Iomallach: An ceàrn a chruthaichear le dà chorda a tha a’ trasnadh aig aon phuing air cearcall.
Ceistean is Deasbadan Eisimpleir
Eisimpleir Ceist 1
Ceist: Ma tha cearcall aig a bheil meadhan aig puing \((3, 4)\) agus a’ dol tron phuing \((7, 4)\). Obraich a-mach co-aontar a’ chearcaill.
Deasbad:
Gus co-aontar cearcaill a lorg, feumaidh fios a bhith againn an toiseach air a radius. Leis gu bheil an cearcall a’ dol tron phuing _(7, 4)_), is urrainn dhuinn an t-astar eadar a’ phuing seo agus meadhan a’ chearcaill obrachadh a-mach, is e sin _(3, 4)_).
\[
r = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
\[
r = \ sqrt{(7 – 3)^2 + (4 – 4)^2}
\]
\[
r = √{4^2 + 0^2}
\]
\[
r = 4
\]
Le meadhan aig \((3, 4)\) agus radius 4, is e co-aontar a’ chearcaill:
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 4^2
\]
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
Eisimpleir Ceist 2
Ceist: Obraich a-mach farsaingeachd agus cuairt-thomhas cearcaill le radius de 5 cm.
Deasbad:
– Faodar farsaingeachd cearcaill (A) obrachadh a-mach leis an fhoirmle \(A = \pi r^2\),
\[
A = π × 5²
\]
\[
A = 25 π cm²
\]
Ma tha π(approx 3.14), an uairsin:
\[
A timcheall air 25 × 3.14 = 78.5 cm²
\]
– Faodar cearcall-thomhas (C) obrachadh a-mach leis an fhoirmle \(C = 2\pi r\),
\[
C = 2 × π × 5
\]
\[
C = 10 π cm
\]
Ma tha π(approx 3.14), an uairsin:
\[
C timcheall air 10 × 3.14 = 31.4 cm
\]
Eisimpleir Ceist 3
Ceist: Tha meadhan cearcaill aig puing O agus radius de 7 cm. Ma thèid corda de dh'fhaid 10 cm a tharraing air a' chearcall, obraich a-mach an t-astar as giorra bhon mheadhan O chun a' chorda.
Deasbad:
Gus an t-astar as giorra bhon mheadhan chun a’ chorda a lorg, bidh sinn a’ cleachdadh bun-bheachd an apothem, is e sin an t-astar as giorra bhon mheadhan chun a’ chorda. Le radius de 7 cm agus fad corda de 10 cm, is urrainn dhuinn dèiligeadh ris a’ chùis seo le bhith a’ cleachdadh an triantan ceart-cheàrnach a chaidh a chruthachadh.
Ma tha meadhan-phuing a’ chorda na phuing C, is e OC an apothem a tha sinn a’ sireadh. Ma tha A agus B nan crìoch-phuingean air a’ chorda, tha AC agus BC 5 cm (leth de 10 cm) an dà chuid.
Bho thriantan OAC a tha ceart-cheàrnach aig C, bidh sinn a’ cleachdadh teòirim Phìothagoras:
\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]
\[
7^2 = OC^2 + 5^2
\]
\[
49 = OC^2 + 25
\]
\[
OC^2 = 49 – 25
\]
\[
OC^2 = 24
\]
\[
OC = 24 = 26 cm
\]
Eisimpleir Ceist 4
Ceist: Ma tha cearcall againn leis a’ cho-aontar \(x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0\). Obraich a-mach meadhan agus radius a’ chearcaill.
Deasbad:
Gus an t-ionad agus an radius a lorg, bidh sinn ag atharrachadh a’ cho-aontar gu cruth àbhaisteach:
\[
x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0
\]
Bidh sinn a’ fuasgladh le bhith a’ foirfeachadh an fhoirm cheàrnagach:
\[
x^2 + 6x + y^2 – 8y = -9
\]
A’ cur (6/2)\(^2\) ris an teirm-x agus (8/2)\(^2\) ris an teirm-y:
\[
x^2 + 6x + 9 + y^2 – 8y + 16 = -9 + 9 + 16
\]
\[
(x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
Bho cho-aontar _((x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16_), gheibh sinn a-mach gur e _(-3, 4)_) meadhan a’ chearcaill agus gur e _(r = \sqrt{16} = 4_) an radius.
Co-dhùnadh
’S e bun-bheachd riatanach agus riatanach a th’ anns a’ chearcall ann an geoimeatraidh. Tro na eisimpleirean de dhuilgheadasan agus na còmhraidhean gu h-àrd, gheibh sinn tuigse nas doimhne air diofar thaobhan agus feartan chearcaill. Ma bhios sinn a’ maighstireachd a’ chuspair seo, bidh e nas fhasa duilgheadasan geoimeatrach nas iom-fhillte a thuigsinn agus fhuasgladh.
