Mekaanisen energian säilyminen kaarevilla pinnoilla – ongelmia ja ratkaisuja
1. Jos pallon nopeus pisteessä A on 6 m/s, pallon nopeus pisteessä B on √92 m/s ja painovoimakiihtyvyys on g = 10 m/s² . Mikä on pisteen B korkeus (h)?
Tunnettu:
Pallon nopeus pisteessä A (vA) = 6 m/s
Pallon nopeus pisteessä B (v B ) = √92 m/s
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ s²
A:n korkeus (h A ) = 5.6 metriä
B:n korkeus (h B ) = h
Etsitään: Pisteen B korkeus (h)
ratkaisu:
Alkuperäinen mekaaninen energia = gravitaatiopotentiaalienergia
Pisteessä A pallon nopeus = 0, joten pallon liike-energia = 0. KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
Pallo on 5.6 metrin korkeudessa, joten pallolla on gravitaatiopotentiaalienergia. Painovoimapotentiaalienergia : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m
Alkuperäinen mekaaninen energia = gravitaatiopotentiaalienergia + liike-energia = 56 m + 0 = 56 m
Lopullinen mekaaninen energia = gravitaatiopotentiaalienergia + kineettinen energia
Pisteessä B pallon korkeus on h. Painovoimapotentiaalienergia: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
Pallon liike-energia: KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (√92) 2 = 1/2 m (92) = 46 m
Lopullinen mekaaninen energia = gravitaatiopotentiaalienergia + kineettinen energia = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Mekaanisen energian säilymisen periaate:
Alkuperäinen mekaaninen energia = lopullinen mekaaninen energia
56 m = m (10 h + 46)
56 = 10 tuntia + 46
56 – 46 = 10 tuntia
10 = 10 tuntia
h = 10/10
h = 1 metri
2.
Jos alkunopeus = 0 ja painovoimakiihtyvyys = 10 m/s² , niin mikä on nopeus B:n korkeudella?
Tunnettu:
Alkunopeus (v0 ) = 0
Alkuperäinen korkeus (h0 ) = 50 m – 10 m = 40 m
Lopullinen korkeus (h t ) = 0
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 ms -2
Haluttu: Loppunopeus ( vt )
ratkaisu:
Kineettisen energian muutos:
ΔKE = 1/2 m (v t 2 – v o 2 ) = 1/2 m (v t 2 – 0) = 1/2 mv t 2
Potentiaalienergian muutos:
ΔPE = mg (h t – h o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m
Laske loppunopeus (vt ) käyttämällä mekaanisen energian säilymislain yhtälöä :
0 = ΔKE + ΔPE
0 = 1/2 mV t2 – 400 m
1/2 mV t2 = 400 m
1/2 vt2 = 400
vt2 = 2 (400 )
v t = √(400)(2)
vt = 20√2 m/ s
- Mitä tarkoitetaan "mekaanisen energian säilymislailla"?
- Vastaus: Mekaanisen energian säilymislaki tarkoittaa, että eristetyn järjestelmän kokonaismekaaninen energia (kineettisen ja potentiaalienergian summa) pysyy vakiona, jos siihen vaikuttavat vain konservatiiviset voimat, kuten painovoima.
- Kuinka kaarevalla pinnalla liikkuva kappale (kuten kaarevaa ramppia pitkin vierivä pallo) säilyttää mekaanista energiaansa?
- Vastaus: Kun kappale liikkuu kaarevaa pintaa pitkin, potentiaalienergia muuttuu kineettiseksi energiaksi, mutta mekaaninen kokonaisenergia pysyy vakiona olettaen, ettei mikään epäkonservatiivinen voima (kuten kitka) tee työtä.
- Jos pallo irrotetaan levosta kaarevan rampin yläpäästä, miten sen liike-energia muuttuu sen liikkuessa alas ramppia?
- Vastaus: Pallon liike-energia kasvaa sen liikkuessa alas ramppia, koska sen potentiaalienergia pienenee ja muuttuu liike-energiaksi.
- Ilman kitkaa, miten pallon nopeus kaarevan liukumäen pohjalla verrattaisiin saman korkuisen suoran liukumäen nopeutta?
- Vastaus: Pallon nopeus pohjassa olisi sama sekä kaarevalla että suoralla liukumisella, koska potentiaalienergian muuntuminen kineettiseksi energiaksi riippuu vain pystysuorasta korkeudesta, ei kuljetusta polusta.
- Miksi pallo ei ehkä saavuta alkuperäistä korkeuttaan, kun se vieritetään ylös kaarevaa ramppia laskeuduttuaan tietyltä korkeudelta?
- Vastaus: Jos palloon vaikuttaa ei-konservatiivisia voimia, kuten kitka, ne tekevät työtä liikettä vastaan ja muuntavat osan pallon mekaanisesta energiasta muuhun muotoon, kuten lämmöksi. Tämän seurauksena pallolla ei välttämättä ole tarpeeksi energiaa saavuttaakseen alkuperäistä korkeuttaan.
- Jos kaksi erimuotoista kappaletta (esim. pallo ja kuutio) liukuvat alas kaarevaa ramppia samalta korkeudelta vierimättä, onko niillä sama nopeus alhaalla? Miksi?
- Vastaus: Kyllä, niillä on sama nopeus alhaalla. Olettaen, ettei vierimistä eikä kitkaa tapahdu, ainoa niiden nopeuteen vaikuttava tekijä on energian säilyminen, joka perustuu alkuperäiseen korkeuteen, ei niiden muotoon.
- Miten pinnan kaarevuus vaikuttaa sitä pitkin liikkuvaan kappaleeseen kohdistuvaan normaalivoimaan?
- Vastaus: Kaarevuus aiheuttaa normaalivoiman suunnan muutoksen kappaleen liikkuessa. Koveralla ylöspäin suuntautuvalla pinnalla (kuten kulhon sisällä) normaalivoima on suurempi pohjassa kaarevan liikkeen edellyttämän keskihakuisen voiman vuoksi. Kääntäen kuperalla pinnalla normaalivoima voi pienentyä tai jopa olla nolla (kappale irtoaa pinnasta) ylimmässä pisteessä.
- Mikä on kaarevuussäteen rooli mekaanisen energian säilymisessä kaarevalla pinnalla?
- Vastaus: Kaarevuussäde itsessään ei vaikuta suoraan mekaanisen energian säilymislakiin. Se voi kuitenkin vaikuttaa normaalivoimaan ja, jos kitkaa on, ei-säilyvien voimien menettämän energian määrään.
- Jos radalla on keskellä kuoppa (kuten U-kirjaimen muotoinen käyrä), miten kappaleen mekaaninen energia vaihtelee sen liikkuessa kuopan läpi ja toiselle puolelle?
- Vastaus: Kappaleen potentiaalienergia pienenee sen liikkuessa syvennykseen ja sen liike-energia kasvaa. Kun se liikkuu toiselle puolelle, sen liike-energia pienenee ja sen potentiaali-energia kasvaa. Jos vain konservatiiviset voimat vaikuttavat, kokonaismekaaninen energia pysyy vakiona koko liikkeen ajan.
- Voiko kappaleella olla sekä translaatio- että pyörimisenergiaa liikkuessaan kaarevalla pinnalla?
- Vastaus: Kyllä, jos pallon kaltainen esine vierii (luistamatta) kaarevalla pinnalla, sillä on translaatiokineettinen energia massakeskipisteensä liikkumisen vuoksi ja pyörimiskineettinen energia akselinsa ympäri pyörimisen vuoksi.
