حرکت چرخشی - مسائل و راه حل ها

حرکت چرخشی - مشکلات و راه حل ها

گشتاور

۱. تیری به طول ۱۴۰ سانتی‌متر. سه نیرو بر تیر وارد می‌شود، F1 ₌ 20 نیوتن، F2 ₌ 10 نیوتن و F3 _{= 40 نیوتن با جهت و موقعیت نشان داده شده در شکل زیر.}گشتاوری که باعث چرخش تیر حول مرکز جرم تیر می‌شود، چقدر است ؟

شناخته شده: حرکت چرخشی - مشکلات و راه حل ها 1

مرکز جرم در مرکز تیر قرار دارد.

طول تیر (l) = 140 سانتی‌متر = 1.4 متر

نیروی ۳ (F1 ₎ = ۴۰ نیوتن، بازوی اهرم ۳ (l1 ₎ = ۷۰ سانتی‌متر = ۰.۷ متر

نیرو ۲ (F2 ₎ = 10 N، بازوی اهرم ۲ (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 متر

نیروی ۳ (F3 ₎ = ۴۰ نیوتن، بازوی اهرم ۳ (l3 ₎ = ۷۰ سانتی‌متر = ۰.۷ متر

مورد نظر: بزرگی گشتاور

راه حل :

گشتاور ۱، تیر را در جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخاند، بنابراین یک علامت منفی به گشتاور ۱ اختصاص داده می‌شود.

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (20 نیوتن)(0.7 متر) = -14 نیوتن متر

گشتاور ۲، تیر را در خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخاند، بنابراین یک علامت مثبت به گشتاور ۲ اختصاص می‌دهد.

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10 نیوتن)(0.3 متر) = 3 نیوتن متر

گشتاور ۳، تیر را در جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخاند، بنابراین یک علامت مثبت به گشتاور ۳ اختصاص داده می‌شود.

τ3 ₌ F3l3 = ( ₄₀ نیوتن)(0.7 متر) = -28 نیوتن متر

گشتاور خالص:

Στ = -14 نیوتن متر + 3 نیوتن متر - 28 نیوتن متر = - 42 نیوتن متر + 3 نیوتن متر = -39 نیوتن متر

بزرگی گشتاور ۳۹ نیوتن متر است. جهت چرخش تیر در جهت عقربه‌های ساعت است، بنابراین علامت منفی به آن اختصاص داده شده است.

۲. گشتاور خالص وارد بر تیر چقدر است؟ محور چرخش در نقطه D. (sin 53 ^o = 0.8)

شناخته شده:

محور چرخش در نقطه D حرکت چرخشی - مشکلات و راه حل ها 2

F ₁ = 10 N و l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm) (sin 53 ^o ) = (0.4 m) (0.8) = 0.32 متر

F ₂ = 10√2 N و l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm) (sin 45 ^o ) = (0.2 m) (0.5√2) = 0.1√2 متر

F ₃ = 20 N و l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm) (sin 90 ^o ) = (0.1 m) (1) = 0.1 متر

مورد نظر: گشتاور خالص

راه حل :

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 نیوتن) (0.32 متر) = 3.2 نیوتن متر

(گشتاور ۱، تیر را در خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخاند، بنابراین ما علامت مثبت را به گشتاور ۱ اختصاص می‌دهیم.)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N) ( 0.1√2 متر) = -2 نیوتن متر

(گشتاور ۲، تیر را در جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخاند، بنابراین ما علامت منفی را به گشتاور ۲ اختصاص می‌دهیم)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 نیوتن) (0.1 متر) = 2 نیوتن متر

گشتاور خالص:

Στ = τ _۱ – τ _۱ + τ _۳

Στ = ۳.۲ نیوتن متر – ۲ نیوتن متر + ۲ نیوتن متر

Στ = 3.2 نیوتن متر

۳. اگر محور چرخش در نقطه D باشد، گشتاور خالص چقدر است؟ (sin 53 ^o = 0.8)

شناخته شده:

محور چرخش در نقطه D. حرکت چرخشی - مشکلات و راه حل ها 3

فاصله بین F1 _و محور چرخش (r _AD ) = 40 سانتی‌متر = 0.4 متر

فاصله بین F2 _و محور چرخش (r _BD ) = 20 سانتی‌متر = 0.2 متر

فاصله بین F3 _و محور چرخش (r _CD ) = 10 سانتی‌متر = 0.1 متر

F ₁ = 10 نیوتن

F2 = 10√2 _نیوتن

F ₃ = 20 نیوتن

گناه ۵۳ ^o = ۰.۸

مورد نظر: گشتاور خالص

راه حل :

گشتاور نیرو ۱

St ₁ = (F ₁ ) (r _AD sin 53 ^o ) = (10 N) (0.4 m) (0.8) = 3.2 Nm

گشتاور نیرو ۲

St ₂ = (F ₂ ) (r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N) (0.2 m) (0.5√2) = -2 Nm

(گشتاور ۲، تیر را در جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخاند، بنابراین ما علامت منفی را به گشتاور ۲ اختصاص می‌دهیم)

گشتاور نیرو ۲

Στ ₃ = (F ₃ ) (r _CD sin 90 ^o ) = (20 نیوتن) (0.1 متر) (1) = 2 نیوتن متر

گشتاور خالص:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = ۳.۲ – ۲ + ۲

Στ = 3.2 نیوتن متر

گشتاور اینرسی

۴. طول سیم = ۱۲ متر، l1 ₌ ۴ متر. از جرم سیم صرف نظر کنید. گشتاور اینرسی سیستم چقدر است؟

شناخته شده: حرکت چرخشی - مشکلات و راه حل ها 4

جرم جسم A (m _A ) = 0.2 کیلوگرم

جرم B (m _B ) = 0.6 کیلوگرم

فاصله بین A و محور چرخش (r _A ) = ۴ متر

فاصله بین B و محور چرخش (rB ₎ = 12 – 4 = 8 متر

مورد نظر: گشتاور اینرسی سیستم

راه حل :

گشتاور اینرسی A

I _A = (m _A ) (r _A² ) = (0.2) (4) ² = (0.2) (16) = 3.2 کیلوگرم متر ^مربع

گشتاور اینرسی B

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 کیلوگرم بر متر ^مربع

گشتاور اینرسی سیستم:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 کیلوگرم متر ^مربع

دینامیک چرخشی

۵. نیرویی با شدت ۶ نیوتن به طنابی که دور قرقره‌ای به جرم M = ۵ کیلوگرم و شعاع R = ۲۰ سانتی‌متر پیچیده شده است، وارد می‌شود. شتاب زاویه‌ای قرقره چقدر است؟ قرقره یک استوانه توپر یکنواخت است.

شناخته شده:

نیرو (F) = 6 نیوتن

جرم (M) = 5 کیلوگرم

شعاع (R) = 20 سانتی‌متر = 20/100 متر = 0.2 متر

مورد نظر: شتاب زاویه‌ای (α)

راه حل :

لحظه اعمال نیرو:

τ = FR = (6 نیوتن) (0.2 متر) = 1.2 نیوتن متر

گشتاور اینرسی برای استوانه توپر:

من = 1/2 آقای ²

من = 1/2 (5 کیلوگرم) (0.2 متر) ²

I = 1/2 (5 کیلوگرم) (0.04 متر ^مربع )

من = 1/2 (0.2)

من = 0.1 کیلوگرم بر متر ^مربع.

شتاب زاویه‌ای:

τ = من α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 راد s ^-2

۶. بلوکی به جرم ۴ کیلوگرم از طنابی که به دور قرقره‌ای به جرم ۸ کیلوگرم و شعاع R = ۱۰ سانتی‌متر پیچیده شده است، آویزان است. شتاب گرانش ۱۰ متر بر ثانیه است ^. شتاب خطی بلوک چقدر است؟ قرقره یک استوانه توپر یکنواخت است.

شناخته شده:

جرم قرقره (متر) = ۸ کیلوگرم

شعاع قرقره (r) = 10 سانتی‌متر = 0.1 متر

جرم بلوک (متر) = ۸ کیلوگرم

شتاب گرانش (g) = 10 متر بر ^ثانیه

وزن (w) = میلی‌گرم = (4 کیلوگرم)(10 متر بر ثانیه ⁾ = 40 کیلوگرم متر بر ثانیه ⁼ 40 نیوتن

مورد نظر: شتاب سقوط آزاد بلوک

راه حل :

گشتاور اینرسی استوانه جامد:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 کیلوگرم)(0.1 متر مربع) ² = (4 کیلوگرم)(0.01 متر مربع ⁾ = 0.04 کیلوگرم بر متر ^مربع

لحظه اعمال نیرو:

τ = F r = (40 نیوتن) (0.1 متر) = 4 نیوتن متر

شتاب زاویه‌ای:

Στ = من α

۱۰ = ۲ آلفا

α = ۴ / ۰.۰۴ = ۱۰۰

شتاب خطی:

a = r α = (0.1) (100) = 10 m/s ²

۷. یک بلوک به جرم m از طنابی که دور یک قرقره پیچیده شده آویزان است. اگر شتاب سقوط آزاد بلوک am/s^ ² باشد ، گشتاور اینرسی قرقره چقدر است؟

شناخته شده:

وزن = w = میلی‌گرم حرکت چرخشی - مشکلات و راه حل ها 6

بازوی اهرم = R

شتاب زاویه‌ای = α

شتاب سقوط آزاد جسم = a ms ^-2

مورد نظر: گشتاور اینرسی قرقره (I)

راه حل :

رابطه بین شتاب خطی و شتاب زاویه‌ای:

a = R α

α = a / R

گشتاور اینرسی:

τ = من α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

تکانه زاویه‌ای

۸. یک ذره ۰.۲ گرمی با سرعت ثابت ۱۰ متر بر ثانیه در یک دایره حرکت می‌کند. شعاع دایره ۳ سانتی‌متر است. تکانه زاویه‌ای ذره چقدر است؟

شناخته شده:

جرم ذره (متر) = 0.2 گرم = 2 × 10 ^-4 کیلوگرم

سرعت زاویه‌ای (ω) = 10 رادیان بر ثانیه ^-1

شعاع (r) = 3 سانتی‌متر = 3 × 10 ^-2 متر

مورد نظر: تکانه زاویه‌ای ذره

راه حل :

معادله تکانه زاویه‌ای:

L = I ω

I = تکانه زاویه‌ای، I = گشتاور اینرسی، ω = سرعت زاویه‌ای

گشتاور اینرسی (برای ذرات):

من = آقای ^۲ = (۲ × ۱۰ ^-۴ )(۳ × ۱۰ ^-۲ ) ^۲ = (۲ × ۱۰ ^-۴ )(۹ × ۱۰ ^-۴ ) = ۱۸ × ۱۰ ^-۸

تکانه زاویه‌ای:

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 رادیان بر ثانیه ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 کیلوگرم بر متر مربع ^بر ثانیه ^-1

حرکت چرخشی چیست؟
- پاسخحرکت چرخشی به حرکت یک جسم حول یک محور ثابت اشاره دارد. این نوع حرکت، حرکتی است که در آن هر نقطه از جسم در یک دایره به دور محور حرکت می‌کند.
سرعت خطی در حرکت چرخشی چه ارتباطی با سرعت زاویه‌ای دارد؟
- پاسخ: سرعت خطی ( $v$ ) از یک نقطه در یک جسم چرخان با فاصله آن از نقطه دیگر نسبت مستقیم دارد ( $r$ ) از محور چرخش و سرعت زاویه‌ای ( $ω$ ) از جسم. رابطه به صورت زیر داده شده است $v = r \cdot ω$ .
گشتاور اینرسی چیست و چه ارتباطی با حرکت چرخشی دارد؟
- پاسخگشتاور اینرسی معادل چرخشی جرم در حرکت خطی است. این گشتاور، مقاومت یک جسم را در برابر تغییرات حالت چرخشی آن اندازه‌گیری می‌کند. گشتاور اینرسی هم به جرم جسم و هم به توزیع آن نسبت به محور چرخش بستگی دارد.
چگونه قانون اول حرکت نیوتن در مورد حرکت چرخشی صدق می‌کند؟
- پاسخهمانطور که یک جسم در حرکت خطی تا زمانی که نیروی خارجی به آن وارد نشود، در حرکت باقی می‌ماند، یک جسم در حرکت چرخشی نیز تا زمانی که گشتاور خارجی به آن وارد نشود، در آن حالت باقی خواهد ماند.
اهمیت شعاع ژیراسیون چیست؟
- پاسخشعاع ژیراسیون معیاری از توزیع جرم یک جسم دور از محور چرخش آن را ارائه می‌دهد. اساساً این شعاع توصیف می‌کند که تمام جرم جسم باید در چه فاصله‌ای از محور متمرکز شود تا همان گشتاور اینرسی توزیع اولیه را داشته باشد.
تکانه زاویه‌ای چیست و چگونه حفظ می‌شود؟
- پاسختکانه زاویه‌ای معادل چرخشی تکانه خطی است. این تکانه حاصلضرب گشتاور اینرسی یک جسم در سرعت زاویه‌ای آن است. در یک سیستم بسته، کل تکانه زاویه‌ای ثابت می‌ماند مگر اینکه تحت تأثیر گشتاور خارجی قرار گیرد که این امر، پایستگی تکانه زاویه‌ای را برجسته می‌کند.
گشتاور چگونه بر حرکت چرخشی تأثیر می‌گذارد؟
- پاسخگشتاور معادل چرخشی نیرو است. گشتاور باعث تغییر در حرکت چرخشی یک جسم می‌شود. رابطه آن توسط قانون دوم نیوتن برای چرخش ارائه شده است: $τ = I \cdot α$ ، که در آن $τ$ گشتاور است، $I$ گشتاور اینرسی است، و $α$ شتاب زاویه‌ای است.
مرکز جرم چه تفاوتی با مرکز چرخش دارد؟
- پاسخاگرچه این دو می‌توانند بر هم منطبق باشند، اما مرکز جرم نقطه‌ای است که می‌توان فرض کرد کل جرم یک جسم برای محاسبات در حرکت خطی در آن متمرکز شده است، در حالی که مرکز چرخش نقطه‌ای (یا محوری) است که یک جسم حول آن می‌چرخد.
نقش نیروی مرکزگرا در حرکت چرخشی چیست؟
- پاسخنیروی مرکزگرا نیروی خالصی است که بر جسمی که در یک مسیر دایره‌ای حرکت می‌کند و جهت آن به سمت مرکز چرخش است، وارد می‌شود. این نیرو مسئول نگه داشتن جسم در مسیر منحنی خود و جلوگیری از حرکت آن در خط مستقیم به دلیل اینرسی است.
انرژی جنبشی چرخشی چه ارتباطی با گشتاور اینرسی و سرعت زاویه‌ای دارد؟
- پاسخانرژی جنبشی چرخشی، انرژی ناشی از چرخش یک جسم حول یک محور است. این انرژی با فرمول زیر داده می‌شود: $K E_{ro t a t i o na l} = 1/2 I ω^{2}$ ، که در آن $I$ گشتاور اینرسی است و $ω$ سرعت زاویه‌ای است.