Bektore Notazioaren Terminologia eta Motak
Matematikaz, fisikaz eta informatikaz hitz egiterakoan, bektoreen kontzeptua ulertzeko elementu erabakigarria izan ohi da. Bektoreak ez dira kontzeptu abstraktuak soilik; hainbat egoera praktikotan ere garrantzitsuak dira, hala nola datuen analisian, ordenagailu bidezko grafikoetan eta fisikako simulazioetan. Artikulu honetan, bektoreen terminologia eta notazioa aztertuko ditugu, eta ondoren diziplina hauetan aurkitzen diren bektore mota desberdinak aztertuko ditugu.
Bektoreen Terminologia eta Notazioa
1. Bektoreak eta eskalarrak
Bektore bat magnitudea eta norabidea dituen entitate matematikoa da. Aldiz, eskalar bat magnitudea eta norabiderik gabeko balio bakarra da. Adibidez, norabiderik adierazi gabeko 5 m/s-ko abiadura eskalar bat da, eta ekialderantz doan 5 m/s-ko abiadura bektore bat.
2. Bektore-notazioa
Bektoreak normalean letra minuskula lodi batekin adierazten dira, adibidez, v, edo letraren gainean dagoen gezi batekin, adibidez, \(\vec{v}\). Adibidez, v bektore bat badugu zeinaren elementuak \(v_1, v_2, v_3\) diren, orduan honela idatz daiteke:
\[ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]
Bektoreak idazteko beste modu bat, batez ere bi edo hiru dimentsioko testuinguruetan, oinarri estandar bat erabiltzea da. Adibidez:
\[ \vec{v} = v_1\hat{i} + v_2\hat{j} + v_3\hat{k} \]
non \(\hat{i}, \hat{j}\) eta \(\hat{k}\) x, y eta z ardatzetako unitate bektoreak diren.
Bektore motak
1. Posizio bektorea
Posizio bektore bat espazioko puntu baten posizioa erreferentzia puntu batekin (normalean O puntua, jatorria) erlatiboa deskribatzen duen bektore bat da. P puntuak (x, y, z) koordenatuak baditu 3D espazioan, orduan posizio bektorea \(\vec{r}\) honela adieraz daiteke:
\[ \veg{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \]
2. Desplazamendu bektorea
Desplazamendu bektore batek puntu baten posizio-aldaketa deskribatzen du posizio batetik bestera. Demagun A puntuak (x1, y1, z1) koordenatuak dituela eta B puntuak (x2, y2, z2) koordenatuak dituela. A-tik B-rako desplazamendu bektorea \(\vec{d}\) honela idatz daiteke:
\[ \vec{d} = (x2 – x1)\hat{i} + (y2 – y1)\hat{j} + (z2 – z1)\hat{k} \]
3. Abiadura bektorea
Abiadura objektu baten posizioaren aldaketa-tasa denbora-unitateko adierazten duen bektore bat da. \(\vec{r}(t)\) posizioaren funtzio bat denborarekiko bada, abiadura-bektorea \(\vec{v}(t)\) \(\vec{r}(t)\)-ren deribatua da t denborarekiko:
\[ \veg{v}(t) = \frac{d\veg{r}(t)}{dt} \]
4. Azelerazio bektorea
Azelerazio bektorea abiadura bektorearen deribatua da denborarekiko. Objektu baten abiaduraren aldaketa-tasa denbora-unitateko adierazten du. Baldin eta \(\vec{v}(t)\) abiaduraren funtzioa denborarekiko bada, azelerazio bektorea \(\vec{a}(t)\) \(\vec{v}(t)\)-ren deribatua da:
\[ \veg{a}(t) = \frac{d\veg{v}(t)}{dt} \]
5. Indar bektorea
Newtonen bigarren legearen arabera, indarra masaren eta azelerazioaren biderkadura da. Indarra ere bektore bat da, magnitudea eta norabidea baititu. m masa bada eta \(\vec{a}\) azelerazio bektorea bada, orduan indar bektorea \(\vec{F}\) honela adieraz daiteke:
\[ \veg{F} = m\veg{a} \]
6. Unitate bektorea
Unitate-bektorea magnitudea (luzera) bat duen bektore bat da. Bektore baten unitate-bektorea \(\vec{v}\) \(\vec{v}\) bere magnitudeaz zatituz lor daiteke. \(\vec{v}\)-k \(||\vec{v}||\) magnitudea badu, orduan bere unitate-bektorea honela idatz daiteke:
\[ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} \]
7. Zero bektorea
Zero bektore bat osagai guztiak zero dituen bektore bat da, eta normalean \(\vec{0}\) gisa adierazten da. Bektore honek ez du norabiderik eta bere magnitudea zero da. Hiru dimentsioko espazioko adibide bat hau da:
\[ \veg{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
8. Bektore ortogonalak
Bi bektore ortogonalak direla esaten da haien barne-biderkadura zero bada. \(\vec{u}\) eta \(\vec{v}\) bi bektore badira, orduan ortogonalak dira baldin eta:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]
9. Bektore kolinearrak eta bektore koplanarrak
Bi bektore kolinearrak direla esaten da lerro zuzen berean badaude edo paraleloak badira. Elkarren multiplo eskalar gisa adieraz daitezke. Adibidez:
\[ \veg{v} = k \veg{u} \]
eskalar batzuetarako \(k\).
Bitartean, hiru bektore koplanarrak direla esaten da plano berean badaude. Beste bi bektoreen konbinazio lineal gisa adieraz daitezke.
Bektoreen gaineko eragiketak
1. Bektoreen batuketa eta kenketa
Bektoreen batuketa dagokien osagaiak batuz egiten da. Baldin eta \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\) eta \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), orduan:
\[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{pmatrix} \]
Kenketa dagokion osagaiak kenduz egiten da:
\[ \vec{u} – \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 – v_1 \\ u_2 – v_2 \\ u_3 – v_3 \end{pmatrix} \]
2. Biderketa eskalarra
Biderketa eskalarra eskalar bat (zenbakizko balioa) duen bektore bat erabiltzen duen eragiketa bat da. k eskalar bat bada eta \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), orduan:
\[ k\vec{v} = \begin{pmatrix} kv_1 \\ kv_2 \\ kv_3 \end{pmatrix} \]
3. Barne-produktua (Dot-produktua)
Bi bektoreren barne-biderkadura, \(\vec{u}\) eta \(\vec{v}\), eskalar bat da. Honela kalkula daiteke:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \]
4. Produktu gurutzatua
Bi bektoreren biderkadura gurutzatuak, \(\vec{u}\) eta \(\vec{v}\), bektore horien ortogonala den bektore berri bat sortzen du. Hiru dimentsioko espazioan, honela kalkulatzen da:
\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}
\hat{i} eta \hat{j} eta \hat{k} \\
u_1 eta u_2 eta u_3 \\
v_1 eta v_2 eta v_3
\end{vmatrix} \]
Ondorioa
Bektoreen terminologia eta notazioa ulertzea, baita haien motak ere, ezinbestekoa da hainbat diziplina zientifikotan. Bektoreak ez dira entitate matematiko abstraktuak soilik, baita tresna indartsuak ere fisikan, ingeniaritzan eta informazio-teknologien analisian. Oinarrizko kontzeptu hauek ondo ulertuta, errazago egin diezaiekegu aurre arazo konplexuei hainbat arlotan.
