Bernoulliren formula: printzipioak eta aplikazioak
Bernoulliren printzipioa fluidoen mekanikan oinarrizko kontzeptu bat da, Daniel Bernoulli zientzialari suitzar batek XVIII. mendean aurkitu zuena. Printzipio honek fluido baten fluxuaren abiaduraren eta fluxu horren barruko presioaren arteko erlazioa azaltzen du. Artikulu honek Bernoulliren formula sakon aztertuko du, oinarrizko kontzeptuak, deribazio matematikoak, kalkulu adibideak eta eguneroko bizitzan dituen aplikazioak.
Bernoulliren formula ulertzea
Bernoulliren formulak dio fluido-fluxu idealean (marruskadurarik gabe), bolumen-unitateko energia mekanikoaren kantitatea (energia potentziala, energia zinetikoa eta presioa) konstantea dela fluxu osoan zehar. Formula hau honela adierazten da:
\[ P + \frac{1}{2} rho v^2 + rho gh = \text{konstantea} \]
Non:
– \(P\) fluidoaren presioa da (pascaletan, Pa),
– \( \rho \) fluidoaren dentsitatea da (metro kubikoko kilogramotan, kg/m³),
– \(v \) fluidoaren fluxuaren abiadura da (metro segundoko, m/s),
– \(g\) grabitatearen azelerazioa da (metro segundoko karratutan, m/s²),
– \(h\) fluidoaren altuera erreferentziaren gainetik da (metrotan, m).
Bernoulliren printzipioa
Bernoulliren printzipioa energiaren kontserbazioaren legean oinarritzen da. Fluidoen fluxuan, sistema bateko energia osoa konstante mantendu behar da sistemari energiarik gehitzen edo kentzen ez bazaio. Bolumen-unitateko energia osoa honako hau da:
1. Presio-energia (\( P \)): Fluido-presioak eragindako energia.
2. Energia zinetikoa (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): Fluidoen mugimenduak eragindako energia.
3. Energia potentzial grabitazionala (\( \rho gh \)): Fluido baten posizioak grabitazio-eremu batean eragindako energia.
Bernoulliren formularen deribazio matematikoa
Bernoulliren formularen deribazioa ulertzeko, 1. puntutik 2. puntura \(v\) abiadura duen fluxu batean mugitzen den fluido elementu txiki bat hartuko dugu kontuan. Marruskadura edo beroagatik energia galerarik ez dagoela suposatzen badugu, 1. eta 2. puntuetako energia osoa berdina izan behar da.
1. puntuko energia osoa (\( E_1 \)) hau da:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} rho v_1^2 + rho gh_1 \]
2. puntuko energia osoa (\( E_2 \)) hau da:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} rho v_2^2 + rho gh_2 \]
Energia totala konstantea izan behar denez:
\[ P_1 + \frac{1}{2} rho v_1^2 + rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} rho v_2^2 + rho gh_2 \]
Bernoulliren formula deitzen zaio horri.
Bernoulliren formula erabiliz kalkuluaren adibidea
Demagun A puntutik B puntura doan hodi horizontal bat dugula. A puntuan, uraren abiadura 2 m/s da eta presioa 150,000 Pa. B puntuan, uraren abiadura 4 m/s da. Uraren dentsitatea 1000 kg/m³ da. Kalkulatu B puntuko presioa.
Erabili Bernoulliren formula:
\[ P_A + \frac{1}{2} rho v_A^2 + rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} rho v_B^2 + rho gh_B \]
Hodia horizontala denez, \( h_A = h_B \), beraz, \( \rho gh \) bi puntuetan baztertu daiteke:
\[ P_A + \frac{1}{2} rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} rho v_B^2 \]
Ordezkatu balio ezagunak:
\[ 150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Kalkulatu energia zinetikoa bi puntuetan:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[ P_B = 152,000 – 8000 \]
\[ P_B = 144,000 \, \text{Pa} \]
Beraz, B puntuko presioa 144,000 Pa da.
Bernoulliren printzipioaren aplikazioa
1. Hegazkinak: Bernoulliren printzipioa hegazkinen hegoen diseinuan erabiltzen da. Hegazkinen hegalaren forma hegalaren gaineko airearen abiadura hegalaren azpikoa baino handiagoa izan dadin diseinatuta dago. Horren ondorioz, presio txikiagoa dago hegalaren gainean eta presio handiagoa hegalaren azpian, hegazkina hegan egiteko aukera ematen duen sustentsioa sortuz.
2. Lasterketa-ibilgailuak: Lasterketa-ibilgailuen diseinu aerodinamikoak Bernoulliren printzipioa erabiltzen du abiadura eta egonkortasuna handitzeko. Spoilerrak eta difusoreak erabiltzen dira aire-fluxua erregulatzeko, beheranzko indarra handituz, eta horrek ibilgailuaren trakzioa hobetzen du errepidean.
3. Gorputzeko odol-fluxua: Bernoulliren printzipioa odol-hodietan zehar doan odol-fluxuari ere aplikatzen zaio. Gorputzeko atal desberdinetako odol-fluxuaren abiadura eta presioaren arteko desberdintasunak azter daitezke gaixotasunak diagnostikatzeko.
4. Venturi neurgailua: Hodi bateko fluidoaren emaria neurtzeko erabiltzen den gailua. Venturi neurgailuak estutze-sekzio bat du, eta horrek fluidoaren fluxu-abiadura handitzea eta presioa gutxitzea eragiten du Bernoulliren printzipioaren arabera. Sekzio zabalaren eta estuaren arteko presio-diferentzia erabiltzen da emaria kalkulatzeko.
5. Lurrin-ihinztagailuak: Lurrin-ihinztagailuek edo likido-ihinztagailuek Bernoulliren printzipioa erabiltzen dute. Airea hodi estu batetik sartzen denean, hodiaren muturreko aire-presioa gutxitzen da, lurrin-likidoa hoditik gora erakarriz eta laino fin gisa ihinztatuz.
Bernoulliren printzipioaren aplikazioan eragina duten faktoreak
1. Marruskadura: Errealitatean, fluidoak ez dira idealak eta beti dago barne-marruskadura (biskositatea) energia-galera eragiten duena. Horrek Bernoulliren printzipioaren aplikazioa konplexuagoa egiten du.
2. Fluidoen konprimagarritasuna: Bernoulliren printzipioa errazagoa da fluido konprimaezinetan aplikatzen (ura adibidez). Gas edo fluido konprimagarrietarako, ekuazioa egokitu behar da.
3. Turbulentzia: Bernoulliren printzipioa fluxu laminarrari (erregularrari) aplikatzen zaio. Fluxu turbulentoan (irregularrean), analisia konplexuagoa bihurtzen da.
Kasu-azterketa: Bernoulliren printzipioaren erabilera hegazkinen hegal-diseinuan
Hegazkin-hegal baten diseinua Bernoulliren printzipioaren adibide klasikoa da martxan. Hegalaren goiko kurbadura eta beheko aldea lauak airea azkarrago isurtzen uzten dute hegalaren gainetik azpitik baino. Bernoulliren printzipioaren arabera, hegalaren gaineko aire-fluxuaren abiadura handiagoak presio txikiagoa sortzen du hegalaren azpian baino. Presio-diferentzia horrek sortzen du hegazkina hegan egiteko aukera ematen dion sustapen-indarra.
Demagun hegazkin batek 25 m²-ko hegal-azalera duela. Hegalaren gaineko airearen abiadura 70 m/s da, eta hegalaren azpikoa, berriz, 50 m/s. Airearen dentsitatea 1.225 kg/m³ da. Kalkulatu ondoriozko sustapena.
1. Kalkulatu presio-diferentzia (\( \Delta P \)) Bernoulliren formula erabiliz:
\[ P_{behea} – P_{goia} = \frac{1}{2} rho (v_{goia}^2 – v_{behea}^2) \]
Ordezkatu balio ezagunak:
\[ ΔP = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (70^2 – 50^2) \]
\[ ΔP = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (4900 – 2500) \]
\[ ΔP = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 2400 \]
\[ ΔP = 1.225 × 1200 \]
\[ ΔP = 1470 \, \text{Pa} \]
2. Kalkulatu jasotze-indarra (\( F_{igoera} \)):
\[ F_{igoera} = ΔP \times A \]
\[ F_{igoera} = 1470 \, \text{Pa} \times 25 \, \text{m}^2 \]
\[ F_{igoera} = 36,750 \, \text{
N} \]
Beraz, sortutako sustapen-indarra 36,750 newton da.
Ondorioa
Bernoulliren printzipioa fluidoen mekanikaren oinarrietako bat da, fluidoen fluxuaren abiaduraren eta presioaren arteko erlazioa azaltzen duena. Bernoulliren formula ulertu eta aplikatuz, fluidoen fluxua barne hartzen duten hainbat sistema aztertu eta diseinatu ditzakegu, hegazkinetatik hasi eta emari-neurgailuetaraino. Praktikan askotan marruskadura eta turbulentzia bezalako faktoreak kontuan hartu behar ditugun arren, Bernoulliren printzipioa funtsezko tresna izaten jarraitzen du fluidoen dinamika ulertzeko eta ingeniaritza-irtenbide eraginkorrak diseinatzeko.
