Errotazio-mugimendua: arazoak eta irtenbideak

Errotazio-mugimendua: arazoak eta irtenbideak

Momentua

1. 140 cm-ko luzera duen habe bat. Hiru indar eragiten diote habeari, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N eta F3 ₌ 40 N, beheko irudian erakusten den norabide eta posizioarekin. Zein da habea habearen masa-zentroaren inguruan biratzea eragiten duen momentua ?

Ezaguna:

Masa-zentroa habearen erdian dago.

Habearen luzera (l) = 140 cm = 1.4 metro

1. indarra (F1 ₎ = 20 N, 1. palanka-besoa (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 metro

2. indarra (F2 ₎ = 10 N, 2. palanka-besoa (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metro

3. indarra (F3 ₎ = 40 N, 3. palanka-besoa (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 metro

Bilatzen dena: Momentuaren magnitudea

irtenbidea:

1 momentuak habea erlojuaren orratzen noranzkoan biratzen du, beraz, zeinu negatiboa esleitzen zaio 1 momentuari.

τ1 ₌ F1 _l1 = (20 N)(0.7 m) = -14 _N m

2 momentuak habea erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan biratzen du, beraz, zeinu positiboa esleitzen dio 2 momentuari.

τ2 ₌ F2 _{l2 = (10 N )} (0.3 m) = 3 N m

3 momentuak habea erlojuaren orratzen noranzkoan biratzen du, beraz, zeinu positiboa esleitzen zaio 3 momentuari.

τ3 ₌ F3l3 = ( ₄₀ N)(0.7 m) = -28 N m

Momentu garbia:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Momentuaren magnitudea 39 N m da. Habearen biraketa-noranzkoa erlojuaren orratzen noranzkoa da, beraz, zeinu negatiboa esleitzen zaio.

2. Zein da habeari eragiten dion momentu garbia? D puntuko biraketa-ardatza (sin 53 ^o = 0.8)

Ezaguna:

D puntuko biraketa-ardatza

F ₁ = 10 N eta l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 metro

F ₂ = 10√2 N eta l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 metro

F ₃ = 20 N eta l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 metro

Bilatzen dena: momentu garbia

irtenbidea:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(1 momentuak habea erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan biratzen du, beraz, zeinu positiboa ematen diogu 1 momentuari)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(2 momentuak habea erlojuaren orratzen noranzkoan biratzen du, beraz, zeinu negatiboa ematen diogu 2 momentuari)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(3 momentuak habea erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan biratzen du, beraz, zeinu positiboa ematen diogu 3 momentuari)

Momentu garbia:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Zein da D puntuan dagoen biraketa-ardatza (sin 53 ^o = 0.8) bada momentu garbia?

Ezaguna:

D puntuko biraketa-ardatza.

F ₁ eta biraketa-ardatzaren arteko distantzia (r _AD ) = 40 cm = 0.4 m

_{F 2} eta biraketa-ardatzaren arteko distantzia (r _BD ) = 20 cm = 0.2 m

_{F 3} eta biraketa-ardatzaren arteko distantzia (r _CD ) = 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ Newton

F2 = _10√2 Newton

F3 = ₂₀ Newton

Sin 53 ^o = 0.8

Bilatzen dena: momentu garbia

irtenbidea:

1. indarraren momentua

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(1 momentuak habea erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan biratzen du, beraz, zeinu positiboa ematen diogu 1 momentuari)

2. indarraren momentua

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(2 momentuak habea erlojuaren orratzen noranzkoan biratzen du, beraz, zeinu negatiboa ematen diogu 2 momentuari)

3. indarraren momentua

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(2 momentuak habea erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan biratzen du, beraz, zeinu positiboa ematen diogu 3 momentuari)

Momentu garbia:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newton metro

Inertzia momentua.

4. Kablearen luzera = 12 m, l1 ₌ 4 m. Ez egin kasurik kablearen masari. Zein da sistemaren inertzia-momentua ?

Ezaguna:

A-ren masa (m² _A ) = 0.2 kg

B-ren masa (m²B ₎ = 0.6 kg

A-ren eta biraketa-ardatzaren arteko distantzia (r _A ) = 4 metro

B-ren eta biraketa-ardatzaren arteko distantzia (r _B ) = 12 – 4 = 8 metro

Bilatzen dena: Sistemaren inertzia momentua

irtenbidea:

A-ren inertzia momentua

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

B-ren inertzia momentua

IB ₌ (mB ₎ (rB2 ₎ = (0.6)(8) ^{2 =} (0.6)(64) = 38.4 kg ^m2

Sistemaren inertzia momentua:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Errotazio-dinamika

5. 6 N-ko indarra aplikatzen zaio M = 5 kg-ko masa eta R = 20 cm-ko erradioa duen polea baten inguruan bildutako sokari. Zein da polearen azelerazio angeluarra? Polea zilindro solido uniforme bat da.

Ezaguna:

Indarra (F) = 6 Newton

Masa (M) = 5 kg

Erradioa (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Bilatzen dena: Azelerazio angeluarra (α)

irtenbidea:

Indarraren momentua:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 metro) = 1.2 N m

Zilindro solido baten inertzia momentua:

I = 1/2 ^MR2

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ^²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 ^m² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m².

Azelerazio angeluarra:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. 4 kg-ko bloke bat, 8 kg-ko masa eta R = 10 cm-ko erradioa duen polea baten inguruan bildutako soka batetik zintzilik. Grabitatearen azelerazioa 10 ms ^-2 da . Zein da blokearen azelerazio lineala? Polea zilindro solido uniforme bat da.

Ezaguna:

Polea-masa (m) = 8 kg

Polearen erradioa (r) = 10 cm = 0.1 m

Blokearen masa (m) = 4 kg

Grabitatearen azelerazioa (g) = 10 m/ ^s²

Pisua (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newton

Bilatzen dena: Blokearen erorketa libreko azelerazioa

irtenbidea:

Zilindro solidoaren inertzia momentua:

I = 1/2 MR2 ⁼ 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m2 ⁾ = 0.04 kg ^m2

Indarraren momentua:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

Azelerazio angeluarra:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Azelerazio lineala:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. M masa duen bloke bat, polea baten inguruan bildutako soka batetik zintzilik. Blokearen erorketa askearen azelerazioa am/ ^s2 bada , zein da polearen inertzia momentua?

Ezaguna:

pisua = w = mg

Palanka-besoa = R

Azelerazio angeluarra = α

Blokearen erorketa libreko azelerazioa = a ms ^-2

Bilatzen dena: Polea baten inertzia momentua (I)

irtenbidea:

Azelerazio linealaren eta azelerazio angeluarraren arteko lotura:

a = Rα

α = a / R

Inertzia momentua:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Momentu angeluarra

8. 0.2 gramoko partikula bat zirkulu batean mugitzen da 10 m/s-ko abiadura konstantean. Zirkuluaren erradioa 3 cm-koa da. Zein da partikularen momentu angeluarra?

Ezaguna:

Partikularen masa (m) = 0.2 gramo = 2 x 10 ^-4 kg

Abiadura angeluarra (ω) = 10 rad s ^-1

Erradioa (r) = 3 cm = 3 x 10 ^-2 metro

Bilatzen dena: partikularen momentu angeluarra

irtenbidea:

Momentu angeluarraren ekuazioa:

L = Iω

I = momentu angeluarra, I = inertzia momentua, ω = abiadura angeluarra

Inertzia momentua (partikulentzat):

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

Momentu angeluarra:

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg ^m² s ^-1

1. Zer da biraketa-mugimendua?
   • ErantzunaErrotazio-mugimendua objektu baten ardatz finko baten inguruan mugitzeari egiten dio erreferentzia. Objektuaren puntu guztiak ardatzaren inguruan zirkulu batean mugitzen diren mugimendu mota da.
2. Nola erlazionatzen da abiadura lineala abiadura angeluarrarekin biraketa-higiduran?
   • ErantzunaAbiadura lineala ($v$) biratzen ari den objektu bateko puntu baten distantziarekiko zuzenki proportzionala da ($r$) biraketa-ardatzetik eta abiadura angeluarretik ($\omega$) objektuarena. Erlazioa honen bidez ematen da $v=r\cdot \omega$.
3. Zer da inertzia-momentua, eta nola erlazionatzen da biraketa-higidurarekin?
   • ErantzunaInertzia-momentua mugimendu linealean masaren biraketa-analogoa da. Objektu batek bere biraketa-egoeran izandako aldaketen aurrean duen erresistentzia neurtzen du. Inertzia-momentua objektuaren masaren eta biraketa-ardatzarekiko duen banaketaren araberakoa da.
4. Nola aplikatzen da Newtonen lehenengo legea biraketa-higidurari?
   • ErantzunaMugimendu linealean dagoen objektu bat mugimenduan mantentzen den bezala kanpoko indar batek eragiten ez badio, biraketa-mugimenduan dagoen objektu bat egoera horretan mantenduko da kanpoko momentu batek eragiten ez badio.
5. Zein da birazio-erradioaren garrantzia?
   • ErantzunaBiraketa-erradioak objektu baten masa bere errotazio-ardatzetik urrun dagoen banaketaren neurria ematen du. Funtsean, objektuaren masa guztia ardatzetik zenbateraino kontzentratu beharko litzatekeen deskribatzen du, jatorrizko banaketaren inertzia-momentu bera izateko.
6. Zer da momentu angeluarra eta nola kontserbatzen da?
   • ErantzunaMomentu angeluarra momentu linealaren baliokide birakaria da. Objektu baten inertzia-momentuaren eta bere abiadura angeluarraren biderkadura da. Sistema itxi batean, momentu angeluar osoa konstante mantentzen da kanpoko momentu batek eragiten ez badio, momentu angeluarraren kontserbazioa nabarmenduz.
7. Nola eragiten du momentuak biraketa-higiduran?
   • ErantzunaMomentua indarraren baliokide birakaria da. Objektu baten biraketa-higiduran aldaketak eragiten ditu. Erlazioa Newtonen bigarren legeak ematen du biraketarako: $\tau =I\cdot \alpha$, Non $\tau$ momentua da, $I$ inertzia momentua da, eta $\alpha$ angelu-azelerazioa da.
8. Nola bereizten da masa-zentroa biraketa-zentrotik?
   • ErantzunaBat etor daitezkeen arren, masa-zentroa objektu baten masa osoa kontzentratzen dela suposa daitekeen puntua da, mugimendu linealeko kalkuluen ondorioetarako, eta biraketa-zentroa, berriz, objektu batek biratzen duen puntua (edo ardatza).
9. Zein da indar zentripetoaren eginkizuna biraketa-higiduran?
   • ErantzunaIndar zentripetua ibilbide zirkular batean mugitzen den objektu bati eragiten dion indar garbia da, errotazio-zentrorantz zuzendua. Objektua bere ibilbide kurbatuan mantentzeaz eta inertzia dela eta lerro zuzen batean mugitzea eragozteaz arduratzen da.

10. Nola erlazionatzen da energia zinetiko birakaria inertzia-momentuarekin eta abiadura angeluarrarekin?

    • ErantzunaEnergia zinetiko errotazionala objektu baten ardatz baten inguruan biratzeak eragindako energia da. Formula honen bidez ematen da: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Non $I$ inertzia momentua da eta $\omega$ abiadura angeluarra da.