Puntu-produktua

Bektoreak ez dira zenbaki arruntak, beraz, biderketa arrunta ezin zaie zuzenean aplikatu. Biderketa bektoriala erabili behar dugu. Bi biderketa bektorial mota daude: puntu bidezko biderketa eta biderketa gurutzatua. Puntu bidezko biderketari biderketa eskalarra ere deitzen zaio, kantitate eskalar bat sortzen duelako. Biderketa gurutzatuari biderketa bektoriala ere deitzen zaio, kantitate bektorial bat sortzen duelako. Adibidez, bi bektore daude, hots A eta BBektoreen biderketa eskalarra A eta B adierazita AB KArenak puntu-notazioa erabiltzen duenez, biderketa horri deitzen zaio puntu-biderkadura. Bektore biderketa A eta B adierazita A x BNotazioa erabiltzen duelako x, orduan biderketa horri biderketa gurutzatua deitzen zaio.

Adibidez, bektorea emanda A eta B beheko irudian erakusten den bezala. Bektoreen arteko biderkadura eskalarra A eta B idatzita bezala AB (A puntu B).

Bektoreen biderkadura eskalarra definitzeko A eta B (AB), bektore irudikatua A eta bektoreak Y-ren araberaangelu bat osatzen duena. θ. Ondoren, bektorearen proiekzioa marrazten dugu B bektorearen norabiderantz. AProiekzio hau bektorearen osagai bat da B bektorearekiko paraleloa dena A, tamaina berekoa dena B cos θ.

Horrela, definitzen dugu AB bektore handi gisa. A bektore osagaiekin biderkatuta B paraleloa dena AMatematikoki honela idatz dezakegu:

AB cos θ zenbaki arrunta da (eskalarra). Beraz, biderkadura eskalari biderkadura eskalarra ere deitzen zaio. Zer gertatzen da bektoreen arteko biderkadura eskalarra bada A eta B alderantziz BA definitu aurretik? BA, lehenik bektorearen proiekzioa marrazten dugu A bektoreei B (ikus beheko irudia).

Irudi honetan oinarrituta, definitu dezakegu BA bektore handi gisa. B bektore osagaiekin biderkatuta A paraleloa dena BMatematikoki honela idatz dezakegu:

Dot produktuaren emaitza AB = AB cos θ eta puntu-biderkaduraren emaitza BA = BA cos θZeren eta AB cos θ = BA cos θ, orduan aplikatzen da AB = BA

Puntu bidezko biderketari buruz jakin behar dituzun gauza batzuk:

1. Biderkadura eskalak lege kommutatiboa betetzen du.

AB = BA

2. Eskalen biderketak banaketa-legea betetzen du.

A. (B + C) = AB + AC

3. Bektorea bada A eta B elkarren perpendikularrak direnean, orduan biderkadura eskalarraren emaitza AB = 0

Bektoreak noiz A eta B elkarren perpendikularrean badaude, sortzen den angelua 90°-koa da^oKos 90^o = 0. Horrela: AB = AB cos tit = AB cos 90^o = 0. Bestalde, BA = BA cos tit = BA cos 90^o = 0

4. Bektorea bada A eta bektoreak B norabide bakarreko, beraz AB = AB cos 0^o = AB

Bektoreak noiz A eta B norabide berean, orduan sortutako angelua 0 da^o. Cos 0 = 1. Beraz, AB = AB cos tit = AB cos 0^o = ABAitzitik BA = BA cos tit = BA cos 0^o = BA

(Ez nahastu behar zara AB eta BAHandia AB = handia BAAdibidez, bektorearen magnitudea A = 2. bektorearen magnitudea B = 3. orduan AB = 2.3 = 6; hau berdina da BA = 3.2 = 6.

^{5. Bi bektore norabide berean egoteko beste baldintza bat, baldin eta} A = B gero lortutako AA = A² edo BB = B²

6. Bektorea bada A eta B kontrako norabidean (bi bektore kontrako noranzkoetan daudenean, sortzen den angelua 180º da), orduan biderketaren emaitza AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.

Cos 180º = -1.

Problemen adibidea:

^{Bektore bat} A 4 unitateko magnitudea du eta bektore bat da B 3 unitate ditu. Zehaztu bi bektoreen biderkadura eskalarra, baldin eta bi bektoreek eratzen dituzten angeluak 60º, 90º eta 180º badira.^o

Eztabaida

delako AB = BA orduan bat erabiltzea aukera dezakegu. Adibidez, erabiltzen dugu AB

AB = AB cos tit

Handia A = 4 unitate eta handia B = 3 unitate.