Banaketa binomialaren balio esperoaren
Banaketa binomiala estatistika eta probabilitatean gehien aurkitzen den probabilitate-banaketa diskretuetako bat da. Banaketa honek saiakuntza bitar independenteen serie batean (bi emaitza baino ez dituzten saiakuntzak: arrakasta edo porrota) lortutako arrakasta kopurua deskribatzen du. Banaketa binomiala hobeto ulertzeko, garrantzitsua da espero den balioaren kontzeptua ulertzea, hau da, epe luzean errepikatutako saiakuntza baten batez besteko balioa deskribatzen duena. Artikulu honek espero den balioaren kontzeptua berrikusiko du banaketa binomialaren testuinguruan.
Banaketa binomialaren definizioa
Banaketa binomiala hainbat saiakera berdin eta independente egiten ditugunean sortzen da, eta saiakera bakoitzak bi emaitza elkarren artean baztertzaile dituenean, normalean "arrakasta" eta "porrot" deitzen direnak. Adibidez, txanpon bat botatzea (burua edo buztana), azterketa-galdera bati erantzutea (egia edo gezurra) edo saiakuntza mediko bat (sendatuta edo ez sendatuta).
Banaketa binomiala bi parametrok definitzen dute:
– n , saiakuntza kopurua.
– p , saiakera bakoitzean arrakasta izateko probabilitatea.
Laburbilduz, X n saiakeretan arrakasta kopurua adierazten duen ausazko aldagaia bada, orduan X-k n eta p parametro dituen banaketa binomial bat jarraitzen du, X ~ Binomial(n, p) gisa adierazia.
Probabilitate funtzioa
Banaketa binomialaren probabilitate-funtzioa honako hau da:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
Non:
– \( \binom{n}{k} \) koefiziente binomiala da, honela kalkulatzen dena: \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(k\) nahi den arrakasta kopurua da.
– \(n \) saiakera kopurua da.
– \(p\) saiakera bakoitzean arrakasta izateko probabilitatea da.
– \( (1-p) \) saiakera bakoitzean huts egiteko probabilitatea da.
Espero den balioa
Probabilitate banaketa baten espero den balioa edo batez bestekoa kokapen zentralaren neurririk garrantzitsuenetako bat da. Banaketa binomialarentzat, Binomial(n, p) banaketari jarraitzen dion X ausazko aldagai baten espero den balioa hau da:
E(X) = np
Espero den balioaren froga
Banaketa binomialaren espero den balioa np zergatik den ulertzeko, espero den balioaren linealtasun-propietatea erabil dezakegu eta aldagai bitarren batzeak nola egiten duen ekarpena ikus dezakegu.
Defini dezagun \( X \) n saiakuntza bitarretan lortutako arrakasta kopurua bezala. Zehatzago esanda, izan bedi \( X_i \) i-garren saiakuntzaren emaitza adierazten duen ausazko aldagai bat, \( X_i = 1 \) non i-garren saiakuntza arrakastatsua bada, eta \( X_i = 0 \) huts egiten badu. Orduan, \( X \) honela idatz dezakegu:
X = X_1 + X_2 + ... + X_n
\(X_i\) bakoitza arrakasta izateko p probabilitatea duen aldagai bitarra denez, \(X_i\)-ren espero den balioa hau da:
E(X_i) = 1 ∫p + 0 ∫(1-p) = p
X-ren balio esperoarentzat balio esperoaren linealtasun-propietatea erabil dezakegu:
E(X) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)
E(X) = E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n)
E(X) = p + p + ... + p
E(X) = np
Horrek erakusten du banaketa binomialaren espero den balioa np dela.
Adibide ilustratiboa
Demagun txanpon bat 10 aldiz jaurtitzen dugun kasua. Galdetu dezagun zein den aurpegia ateratzen duten jaurtiketa kopuruaren espero den balioa.
Kasu honetan:
– n = 10 (txanpon-jaurtiketa kopurua)
– p = 0.5 (txanpona bidezkoa denez, aurpegia ateratzeko probabilitatea)
Beraz, espero den balioa hau da:
E(X) = np = 10 × 0.5 = 5
Horrek esan nahi du epe luzean txanpon bat 10 aldiz errepikatuta jaurtitzen badugu, batez beste 5 aldiz aterako dela aurpegia.
Bariantza eta Desbideratze Estandarra
Espero den balioaz gain, banaketa binomialaren bariantza eta desbideratze estandarra ulertzea ere garrantzitsua da.
Banaketa binomialarentzat, bariantza \( \sigma^2 \) eta desbideratze estandarra \( \sigma \) honako hauek dira:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
Bariantzak datuak espero den baliotik zenbateraino dauden sakabanatuta neurtzen du. Desbideratze estandarra bariantzaren erro karratua da eta datuen sakabanaketa ere neurtzen du, baina jatorrizko datuen unitate berdinetan.
Ondorioa
Banaketa binomiala oinarrizko kontzeptua da estatistika eta probabilitatean, maiz aurkitzen dena hainbat aplikazio errealetan, negozioetatik hasi eta gizarte zientzietaraino eta biologiaraino. Banaketa binomialaren balio esperoak, np gisa kalkulatuta, informazio garrantzitsua ematen du saiakuntza bitar serie bateko arrakasta kopuruaren batez bestekoari buruz. Balio esperoaren, bariantzaren eta desbideratze estandarraren kontzeptuak ulertuz, banaketa binomialaren ezaugarriak eta eguneroko bizitzako fenomeno batzuk nola deskribatzen dituen argiago uler ditzakegu.
Ezagutza hau oso erabilgarria da ez bakarrik datuen analisi eta estatistiketan, baita probabilitatea eta ziurgabetasuna ebaluatzea eskatzen duten erabakiak hartzeko ere. Espero den balioa eta banaketa binomiala ulertzeak iragarpen zehatzagoak egiten eta erabaki informatuagoak hartzen lagun diezaguke.
