Koordenatu-sistema bateko bi dimentsioko bektoreei buruzko galdera-adibideak
Bektore bat magnitudea eta norabidea dituen kantitate bat da. Bektoreak maiz erabiltzen dira hainbat matematika eta fisikako gaietan hainbat fenomeno irudikatzeko. Artikulu honetan, koordenatu-sistema bateko bi dimentsioko bektoreen adibideak aztertuko ditugu.
Bektoreen oinarrizko kontzeptuak koordenatu-sistemetan
Bi dimentsioko koordenatu-sistema bateko bektore bat honela adieraz daiteke: \(\vec{A} = (a_1, a_2)\), non \(a_1\) bektorearen x osagaia den eta \(a_2\) bektorearen y osagaia. Bektorea bi osagaitan deskonposa daiteke, hots, x osagaian eta y osagaian.
Bektoreen batuketa eta kenketa
Bi bektoreren batuketa \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) eta \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) hau da:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Murrizketa hau den bitartean:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Biderketa eskalarra
Baldin eta \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) bada eta \(k\) eskalar bat bada, orduan \(k\vec{A}\) hau da:
\[
k\veg{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]
Bektorearen magnitudea
Bektorearen magnitudea edo luzera \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) hau da:
\[
|\veg{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Unitate bektorea
Unitate-bektorea unitate bateko luzera duen bektorea da. \(\vec{A} = (a_1, a_2)\)-ren unitate-bektorea hau da:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galdera: Bektoreen batuketa eta kenketa
Bi bektore ematen dira honela: \(\vec{A} = (3, 4)\) eta \(\vec{B} = (1, 2)\). Aurkitu \(\vec{A} + \vec{B}\) eta \(\vec{A} – \vec{B}\)-ren biderkadura.
Eztabaida:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
2. galdera: Biderketa eskalarra
\(\vec{C} = (2, -3)\) bektorea emanda, kalkulatu \(3\vec{C}\) eta \(-2\vec{C}\).
Eztabaida:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
3. galdera: Bektorearen magnitudea
Kalkulatu bektorearen magnitudea \(\vec{D} = (5, 12)\).
Eztabaida:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
4. galdera: Unitate bektoreak
Aurkitu \(\vec{E} = (4, 3)\) bektorearen unitate-bektorea.
Eztabaida:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]
5. galdera: Bektoreen posizioa eta distantzia
Bi dimentsioko koordenatu-planoko bi puntu P(2, 3) eta Q(5, 7) dira. Zehaztu P puntutik Q punturako posizio-bektorea eta bien arteko distantzia.
Eztabaida:
P-tik Q-rako posizio bektorea hau da:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
P eta Q puntuen arteko distantzia hau da:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
6. galdera: Dot biderketaren emaitza
Baldin eta \(\vec{F} = (-3, 4)\) eta \(\vec{G} = (2, 1)\) badira, kalkulatu \(\vec{F} \cdot \vec{G}\)-ren biderkadura eskalaria.
Eztabaida:
Bi bektoreren biderkadura eskalarra hau da:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
7. galdera: Bi bektoreren arteko angelua
Baldin eta \(\vec{H} = (7, -4)\) eta \(\vec{I} = (3, 0)\) badira, zehaztu bi bektoreen arteko angelua.
Eztabaida:
Bi bektoreren arteko angelua zehazteko, formula hau erabiltzen dugu:
\[
cos θ = (frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
Lehenik eta behin, kalkulatu biderkadura eskalarra (H₁₀I):
\[
H I = 7 3 + (-4) 0 = 21 + 0 = 21
\]
Ondoren, kalkulatu \(\vec{H}\) eta \(\vec{I}\)-ren magnitudeak:
\[
|\veg{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Sartu balio hauek formulan:
\[
cos θ = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
Beraz, θ = cos^{-1} (7}{65)).
8. galdera: Bektore-proiekzioa
\(\vec{J} = (2, 1)\) eta \(\vec{K} = (-1, 3)\) bektoreetarako, kalkulatu \(\vec{J}\)-ren proiekzioa \(\vec{K}\)-ren gainean.
Eztabaida:
\(\vec{J}\)-ren proiekzioa \(\vec{K}\)-ren gainean hau da:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \right) \vec{K}
\]
Lehenik eta behin, kalkulatu biderkadura eskalaria (J → K):
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
Orduan, \(\vec{K}\)-ren magnitudea:
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Beraz,:
\[
|\veg{K}|^2 = 10
\]
Sartu formulan:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
Hauek koordenatu-sistema bateko bi dimentsioko bektoreei buruzko adibide-arazoak eta eztabaidak dira. Bektoreen ulermen ona lagungarria izan daiteke matematika, fisika eta ingeniaritzan aplikazio askotan. Hainbat adibiderekin praktikatzeak kontzeptu honen ulermena sakondu dezake, egoera askotan eraginkortasunez aplikatzeko aukera emanez.
