Adibide galderak eta eztabaida: Datu bakarren bariantza eta desbideratze estandarra
Estatistika datuen bilketa, analisia, interpretazioa, aurkezpena eta antolaketaz arduratzen den matematikaren adarra da. Estatistikan bi kontzeptu garrantzitsu daude, bariantza eta desbideratze estandarra. Artikulu honek xehetasunez azalduko du nola kalkulatu datu-multzo bakar baten bariantza eta desbideratze estandarra hainbat adibide-problemaren bidez.
Bariantza eta Desbideratze Estandarra Ulertzea
Bariantza datu-multzo bateko zenbakiak batez bestekotik edo batez bestekotik zenbateraino dauden urrun kuantifikatzen duen neurria da. Bariantza jatorrizko datuen unitate karratuetan adierazten da, eta horrek askotan zaila egiten du interpretatzea.
Desbideratze estandarra bariantzaren erro karratua da. Datuak batez bestekotik zenbateraino aldentzen diren neurtzeko modu intuitiboagoa eskaintzen du, bere unitateak datuen jatorrizko unitate berdinak baitira.
Formula Orokorra
Datu bakarrerako, populazioaren bariantza \( \sigma^2 \) eta desbideratze estandarra \( \sigma \) kalkulatzeko formula hau da:
1. Bariantza (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Desbideratze estandarra (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Non:
– \(N\) populazioko datu kopurua da.
– \(x_i\) i-garren datu-balioa da.
– \( \mu \) datuen batez bestekoa edo batez bestekoa da.
Laginaren bariantza eta desbideratze estandarra kalkulatzen baditugu, goiko formula apur bat aldatzen da:
1. Laginaren aldakortasuna (s²):
\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Laginaren desbideratze estandarra (k):
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Non:
– \(n\) laginaren datu kopurua da.
– \( \bar{x} \) laginaren batez bestekoa edo batez bestekoa da.
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galderaren adibidea:
Hurrengo datuak emanda:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Kalkulatu datuen bariantza eta desbideratze estandarra!
Irtenbidearen urratsak:
1. Batez bestekoa (Mean) kalkulatzea \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Kalkulatu datuen eta batez bestekoaren arteko aldea, eta gero karratua:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Emaitza karratu guztiak gehitzea:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Biztanleriaren datuen aldakortasuna (σ²) kalkulatzea:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Oharra: Datu hauek populazio-datu gisa adierazi direnez, 6z zatitzen dugu.
5. Desbideratze estandarra (σ) kalkulatzea:
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \gutxi gorabehera 1.886
\]
Beraz, datuen bariantza 3.559 da eta desbideratze estandarra 1.886.
2. galderaren adibidea:
Hurrengo lagin-datuak emanda:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Kalkulatu laginaren bariantza eta desbideratze estandarra!
Irtenbidearen urratsak:
1. Batez bestekoa (Mean) kalkulatzea \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Kalkulatu datuen eta batez bestekoaren arteko aldea, eta gero karratua:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Emaitza karratu guztiak gehitzea:
\[
(x_i – \bar{x})^2 batura = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Laginaren aldakortasuna kalkulatzea (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Oharra: Lagin-datuak direnez, 5ez zatitzen dugu (n-1).
5. Desbideratze estandarra (k) kalkulatzea:
\[
s = \sqrt{5.351} \circ 2.313
\]
Beraz, lagin-datuen bariantza 5.351 da eta desbideratze estandarra 2.313.
Ondorioa
Bariantza eta desbideratze estandarra kalkulatzea ezinbestekoa da datuak multzo jakin batean nola sakabanatuta dauden ulertzeko. Bariantzak jatorrizko unitateen karratuetan sakabanaketaren neurri teorikoa ematen duen bitartean, desbideratze estandarrak sakabanaketaren neurria interpretatzen du datuen jatorrizko unitateen arabera, ulertzea erraztuz. Datuen analisian, bi neurri hauek erabili ohi dira datuen aldakortasuna ebaluatzeko eta erabaki estatistikoak hartzeko.
Beharrezko urratsak eta formulak ulertuz, erraz kalkula ditzakegu bariantza eta desbideratze estandarra eguneroko datuak biltzean eta aztertzean aurkitzen ditugun hainbat egoeratan. Zorionez, artikulu honek bariantzaren eta desbideratze estandarraren kontzeptuak sakonago ulertzen lagunduko dizu datu-multzo bakarrean.
