Erregresio Linealaren Adibide Galderak eta Eztabaida
Erregresio lineala bi aldagai edo gehiagoren arteko erlazioa zehazteko erabiltzen den metodo estatistikoa da. Metodo hau hainbat arlotan erabiltzen da, besteak beste, ekonomian, negozioetan, gizarte zientzietan eta zientzia naturalen arloetan. Artikulu honetan, erregresio lineala, nola kalkulatu aztertuko ditugu eta hainbat adibide-problema emango ditugu azalpenekin, irakurleek kontzeptu hau sakon ulertzen laguntzeko.
Erregresio lineala ulertzea
Erregresio lineala aldagai independente bat edo gehiagoren (aurreikusleak) eta mendeko aldagai baten (erantzunaren) arteko erlazioa modelatzeko erabiltzen den metodo analitikoa da. Erregresio lineal sinpleak aldagai independente bat eta mendeko aldagai bat hartzen ditu barne, eta erregresio lineal anizkoitzak, berriz, aldagai independente bat baino gehiago.
Erregresio-zuzen lineal sinple baten ekuazioa hau da:
\[ Y = a + bX \]
Non:
– \(Y \) mendeko aldagaia da.
– \(X \) aldagai independentea da.
– \(a \) ebakidura-puntua da, hau da, Y-ren balioa X = 0 denean.
– \(b\) erregresio-koefizientea da, hau da, zenbat aldatzen den Y X unitate bat aldatzen bada.
Erregresio linealaren urratsak
1. Datuak bildu: Lehenik eta behin, aztertuko diren datuak bildu.
2. Datuak irudikatu: Sortu sakabanaketa-diagrama bat aldagaien artean erlazio linealik dagoen ikusteko.
3. Kalkulatu Erregresio Koefizientea: Erabili karratu txikienen metodoa lerro onena zehazteko.
4. Eredua probatzea: Erregresio-koefizienteen esangura t-test batekin probatu eta R karratu balioa zehaztu, ereduak datuetara zenbateraino egokitzen den ikusteko.
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galderaren adibidea: Erregresio lineal sinplea
Galdera:
Ikertzaile batek ikasketa ordu kopuruaren (X) eta ikasleen azterketen puntuen (Y) arteko erlazioa jakin nahi du. Lortutako datuak hauek dira:
| Ikasketa orduak (X) | Azterketaren puntuazioa (Y) |
|——————–|———————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 5 | 80 |
| 7 | 85 |
| 8 | 90 |
Egin erregresio linealaren ekuazio bat datu hauetatik!
Eztabaida:
1. Batez bestekoa kalkulatzea:
\[
X = 2 + 3 + 5 + 7 + 8 / 5 = 5
\]
\[
\bar{Y} = \frac{70 + 75 + 80 + 85 + 90}{5} = 80
\]
2. Erregresio-koefizientea \(b \) kalkulatzea:
\[
b = \frac{\sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{\sum (X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
(Xi – X)(Yi – Y) = (2 – 5)(70 – 80) + (3 – 5)(75 – 80) + (5 – 5)(80 – 80) + (7 – 5)(85 – 80) + (8 – 5)(90 – 80) batuketa
\]
\[
= (-3)(-10) + (-2)(-5) + (0)(0) + (2)(5) + (3)(10) = 30 + 10 + 0 + 10 + 30 = 80
\]
\[
(Xi – X)^2 = (2 – 5)^2 + (3 – 5)^2 + (5 – 5)^2 + (7 – 5)^2 + (8 – 5)^2
\]
\[
= 9 + 4 + 0 + 4 + 9 = 26
\]
\[
b = \frac{80}{26} \gutxi gorabehera 3.08
\]
3. Ebakidura \(a \) kalkulatzea:
\[
a = Y – b X
\]
\[
a = 80 – 3.08 × 5 = 80 – 15.4 = 64.6
\]
4. Erregresio-ekuazioa:
\[
Y = 64.6 + 3.08X
\]
Beraz, datuen erregresio linealaren ekuazioa \(Y = 64.6 + 3.08X\) da. Horrek esan nahi du ikasketa ordu gehigarri bakoitzak 3.08 puntu handitzea espero dela azterketaren puntuazioa.
2. galderaren adibidea: Eredu-proba eta interpretazioa
Galdera:
Datu berdinekin jarraituz, kalkulatu R karratuaren (R²) balioa ereduak datuak zenbateraino egokitzen dituen neurtzeko. Era berean, probatu erregresio koefizientearen (b) esangura.
Eztabaida:
1. Kalkulatu Karratuen Batura Totala (KTB), Erregresio Karratuen Batura (KTB) eta Karratuen Errore Batura (KTB):
\[
SST = \sum (Y_i – \bar{Y})^2
\]
\[
SST = (70 – 80)^2 + (75 – 80)^2 + (80 – 80)^2 + (85 – 80)^2 + (90 – 80)^2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
\]
\[
SSR = \sum (\hat{Y}_i – \bar{Y})^2
\]
Non \( \hat{Y}_i \) erregresio-ekuazioaren aurreikusitako balioa den:
\[
Y_i = 64.6 + 3.08X_i
\]
\[
\hat{Y} = [67.76, 70.84, 76.0, 82.16, 85.24]
\]
\[
\bar{Y} = 80
\]
\[
SSR = (67.76 – 80)^2 + (70.84 – 80)^2 + (76.0 – 80)^2 + (82.16 – 80)^2 + (85.24 – 80)^2
\]
\[
SSR = (-12.24)^2 + (-9.16)^2 + (-4.0)^2 + 2.16^2 + 5.24^2 = 149.8
\]
2. SSE kalkulatzea:
\[
SSE = SST – SSR = 250 – 149.8 = 100.2
\]
3. R karratua kalkulatzea:
\[
R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{149.8}{250} \gutxi gorabehera 0.6
\]
0.6ko R karratu balio batek adierazten du eredu honek datuen aldakuntzaren % 60 inguru azaltzen duela. Horrek adierazten du erregresio-lerroak datuak nahiko ondo egokitzen dituela.
4. Koefizientearen garrantzia neurtzeko t-proba \(b\):
\[
t = \frac{b}{SE(b)}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}} / \sqrt{\sum(X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{100.2}{5-2}} / \sqrt{26}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{33.4} / \sqrt{26} \sqrt{1.13 gutxi gorabehera
\]
\[
t = \frac{3.08}{1.13} \gutxi gorabehera 2.73
\]
\(t-estatistikoa \approx 2.73\) bada, esangura-atalase komun bat erabiltzen badugu (α = 0.05), t-taularekin alderatzen dugu. Adibidez, \(df = 3\)-rako, \(t\) kritikoa gutxi gorabehera 2.353 da. Orduan, \(t-behatua > t-kritikoa\), koefizientea esanguratsua dela adieraziz.
Ondorioa
Artikulu honetan, erregresio linealaren oinarriak landu ditugu, nola kalkulatu erregresio-koefizientea eta ebakidura-puntua, eta nola interpretatu emaitzak adibide-problemak erabiliz. Metodo hau erabiltzeko trebea izateko, ezinbestekoa da datu-multzo desberdinekin maiz praktikatzea. Erregresio lineala tresna baliotsua da datuen analisian eta aldagaien arteko harremanei buruzko ikuspegi sakonak eman ditzake.
