Bi bektoreren batuketa paralelogramo metodoa erabiliz eztabaidatzen duen galderaren adibidea
Bektoreen batuketa kontzeptu erabakigarria da fisikan eta matematikan, askotan fenomeno naturalak eta eguneroko bizitzako arazoak deskribatzeko erabiltzen dena. Bi bektore batzeko hainbat metodo daude, horietako bat paralelogramoen metodoa da. Metodo hau ez da intuitiboa bakarrik, baizik eta bi bektore nola konbinatzen diren bektore bat osatzeko bistaratze indartsua ere eskaintzen du. Artikulu honetan, paralelogramoen metodoa erabiliz bektoreen batuketaren hainbat adibide aztertuko ditugu, haien soluzioekin batera.
Zer da bektore bat?
Adibide-problemetan sartu aurretik, bektore baten oinarrizko definizioa ulertu behar dugu. Bektore bat magnitudea (luzera) eta norabidea dituen kantitate bat da. Bektoreen adibide klasikoen artean daude abiadura, azelerazioa, indarra eta desplazamendua. Bektore bat bere osagai gisa (i, j, k) koordenatu kartesiarretan edo bere luzera eta norabide gisa (angelua) adieraz daiteke.
Paralelogramoaren metodoa
Paralelogramoaren metodoa bi bektore batzeko modu bat da. Metodo honetan, bi bektore paralelogramo baten bi alde gisa irudikatzen ditugu. Emaitza bektorea bi bektoreen hasierako puntutik hasten den paralelogramoaren diagonala da. Matematikoki, bi bektore baditugu, \(\vec{A}\) eta \(\vec{B}\), emaitza \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) da.
Paralelogramoaren metodoa erabiltzeko urratsez urratseko metodoa honako hau da:
1. Marraztu \(\vec{A}\) bektorea hasierako puntutik.
2. Bektorearen \(\vec{A}\) muturretik, marraztu \(\vec{B}\) bektorea.
3. Marraztu hasierako puntutik (A) bektorearekiko paraleloa den lerro bat.
4. Marraztu \(\vec{B}\) bektorearekiko paraleloa den lerro bat bektorearen muturretik.
5. Marraztu diagonal bat hasierako puntutik kontrako izkinaraino, emaitza den \(\vec{R}\) bektorea lortzeko.
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galdera
Demagun bi bektore ditugula, \(\vec{A}\) eta \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\)-k 5 unitateko luzera (magnitudea) eta 0°-ko norabidea du (edo x ardatz positiboan zehar),
– \(\vec{B}\)-k 3 unitateko luzera eta 90°-ko norabidea ditu (edo y ardatz positiboan zehar).
Zein da bi bektore hauek paralelogramoaren metodoa erabiliz batzearen emaitza?
Eztabaida:
1. Marraztu \(\vec{A}\) bektorea x ardatz positiboan zehar, 5 unitateko luzerarekin.
2. Bektorearen \(\vec{A}\) muturretik abiatuta, marraztu \(\vec{B}\) bektorea y ardatz positiboan zehar, 3 unitateko luzerarekin.
3. Hasierako puntutik (\vec{A}\), marraztu (\vec{B}\) zuzen bat.
4. \(\vec{B}\)-ren muturretik, marraztu \(\vec{A}\)-rekiko paraleloa den lerro bat.
5. Emaitza paralelogramo bat da, diagonal bat duena, eta hau da, emaitza bektorea \(\vec{R}\).
\(\vec{A}\) eta \(\vec{B}\) elkarren perpendikularrak direnez, Pitagorasen teorema erabil dezakegu bektore erresultantearen luzera kalkulatzeko:
R = A^2 + B^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34 \sqrt{5.83 inguru]
Bektore erresultantearen norabidea trigonometria erabiliz kalkula daiteke. Baldin eta \(\theta\) bektore erresultantearen eta \(\vec{A}\) arteko angelua bada:
tan(θ) = B/A = 3/5
beraz:
\[ θ = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \circ 30.96^\circ \]
Beraz, emaitza den bektoreak (\vec{R}\) 5.83 unitate inguruko magnitudea eta (\vec{A}\)-tik 30.96° inguruko norabidea ditu.
2. galdera
Bi bektore \(\vec{C}\) eta \(\vec{D}\) honela ematen dira:
– \(\vec{C}\) 4 unitateko luzera eta 45°-ko norabidea dituena.
– \(\vec{D}\) 6 unitateko luzera eta 120°-ko norabidea dituena.
Zehaztu bi bektoreen batuketaren emaitza den \(\vec{R}\) bektorea.
Eztabaida:
Elkarren artean perpendikularrak ez diren edo forma desberdineko bi bektore batzeko, osagai kartesiarrak erabil ditzakezu.
1. Banatu \(\vec{C}\) eta \(\vec{D}\) x eta y osagaietan.
\(\vec{C}\-rako):
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \circ 2.83 inguru \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \circ 2.83 inguru \]
\(\vec{D}\-rako):
D_x = D cos(120^circ) = 6 cos(120^circ) = 6 (-\frac{1}{2}) = -3
D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \circ 5.20 inguru \]
2. Gehitu bi bektoreen x eta y osagaiak:
R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17
Ry = Cy + Dy = 2.83 + 5.20 = 8.03
3. Kalkulatu emaitza den bektorearen magnitudea eta norabidea \(\vec{R}\):
R = R_x^2 + R_y^2 = (-0.17)^2 + 8.03^2 = 0.03 + 64.48 = 64.51 gutxi gorabehera 8.03
\[ θ = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \circle \tan^{-1}(-47.24) \]
Emaitza negatiboa denez, 180° gehitzen ditugu angelua koadrante-sistema zuzenean lortzeko:
\[ θ ∫tan^{-1}(47.24) + 180^\circ ∫271.93^\circ \]
Beraz, emaitza den bektoreak (\vec{R}\) 8.03 unitate inguruko magnitudea eta 271.93° inguruko norabidea ditu, edo esan dezakegu laugarren koadranteko x ardatz negatibotik 91.93° inguru dagoela.
Itxiera
Paralelogramoaren metodoa bi bektore batzeko modu eraginkor eta bisuala da. Bektore sinpleentzat metodo hau sinplea iruditu daitekeen arren, garrantzitsua da ulertzea bektore konplexuagoetarako, emaitza zehatzak lortzeko, osagai kartesiarrak eta teknika aljebraiko aurreratuagoak erabili behar ditugula askotan. Zorionez, goiko adibideek metodo hau egoera askotan nola aplika daitekeen argi erakusten dute.
