Bektoreen kenketaren inguruko galdera-adibideak eta eztabaida
Pendahuluan
Matematikan eta fisikan, bektoreak oinarrizko kontzeptu bat dira, hainbat fenomeno natural eta ingeniaritzako azaltzeko erabiltzen direnak. Bektore bat magnitudea eta norabidea dituen kantitate bat da. Bektoreen adibide garrantzitsu batzuk desplazamendua, abiadura, azelerazioa eta indarra dira. Artikulu honetan, bektoreen kenketa aztertuko dugu, nahiz eta gai hau askotan bektoreen konbinazioaren testuinguruan azpimarratzen den.
Bektoreen kenketa funtsezko eragiketa bat da, funtsezkoa bektoreen analisian. Kontzeptu honetan sakontzeko, azter ditzagun bektoreen kenketarekin lotutako arazo eta eztabaida batzuk.
Bektoreen kenketa
Bektoreen kenketa {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} bektorea {\displaystyle \mathbf{A}} bektorea {\displaystyle \mathbf{B}} bektorearekin batzeko eragiketa gisa definitzen da, non {\displaystyle \mathbf{B}} bektorearen magnitude bera den, baina kontrako noranzkoa duena. Matematikoki, hau honela idatz daiteke:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galdera: Bi dimentsioko bektoreen kenketa
Demagun bi bektore daudela koordenatu kartesiarretan:
A = (4, 3) eta B = (1, 2). Kalkulatu A – B.
Eztabaida:
Lehen urratsa {\displaystyle \mathbf{B}} bektore negatiboa aurkitzea da, hau da:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
Ondoren, gehitu bektorea {\displaystyle \mathbf{A}} {\displaystyle -\mathbf{B}}-rekin:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}
Egin bektoreen batuketa x eta y osagai bakoitza gehituz:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}
Beraz, bektoreak {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} kentzearen emaitza (3, 1) bektorea da.
2. galdera: Hiru dimentsioko bektoreen kenketa
Hiru dimentsioko koordenatuetan bi bektore emanda:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} eta {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. Kalkulatu {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}}.
Eztabaida:
Lehen urratsa Q bektore negatiboa aurkitzea da:
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
Ondoren, gehitu bektorea {\displaystyle \mathbf{P}} {\displaystyle -\mathbf{Q}}-rekin:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
Egin bektoreen batuketa x, y eta z osagai bakoitza gehituz:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
Beraz, bektoreak {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} kentzearen emaitza (5, -9, -1) bektorea da.
3. galdera: Bektoreen kenketa plano konplexuan
Demagun bi bektore zenbaki konplexuz irudikatuta daudela:
M = 3 + 4i eta N = 1 + 2i. Kalkulatu M – N.
Eztabaida:
Lehen urratsa {\displaystyle \mathbf{N}} bektore negatiboa aurkitzea da:
{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}
Ondoren, gehitu bektorea {\displaystyle \mathbf{M}} {\displaystyle -\mathbf{N}}-rekin:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}
Egin bektoreen batuketa osagai erreal eta irudikari bakoitza gehituz:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
Beraz, M – N bektoreak kentzearen emaitza 2 + 2i zenbaki konplexua da.
4. galdera: Bektoreen kenketa koordenatu polarreko sisteman
Demagun bi bektore daudela koordenatu polarretan:
5eko magnitudea eta 30°-ko angelua ditu,
eta V-k 3 magnitudea eta 150°-ko angelua ditu.
Kalkulatu U – V.
Eztabaida:
Lehen urratsa U eta V bektoreak koordenatu kartesiarretara bihurtzea da.
{\displaystyle \mathbf{U}}-rako:
U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
Beraz, kartesiar sisteman U (4.33, 2.5) da.
{\displaystyle \mathbf{V}}-rako:
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}
Beraz, kartesiar sisteman V (-2.598, 1.5) da.
Hurrengo urratsa, kalkulatu bektorearen kenketa kartesiarrarekin:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
Horrek esan nahi du bektorearen negatiboa gehituz:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
Beraz, koordenatu kartesiarretan U – V bektorea kentzearen emaitza (6.928, 1) da.
Ondorioa
Bektoreen kenketa ezinbesteko eragiketa matematikoa da bektore-analisia erabiltzen duten arlo askotan. Bi dimentsioko, hiru dimentsioko, konplexuko edo koordenatu polarreko sistemetan izan, oinarrizko printzipioa berdina da: bektore bat beste baten negatiboari gehitzea. Goiko adibideek eragiketa hau testuinguru desberdinetan aplikatzeko hainbat modu erakusten dituzte, kontzeptua sakonago eta praktikoago ulertzen lagunduz.
