Adibide galderak eta aplikazio integralen eztabaida
Integrazioa kalkuluaren oinarrizko kontzeptua da, zientziaren hainbat arlotan aplikazio ugari dituena, hala nola fisikan, ekonomian, biologian eta ingeniaritzan. Integralak kurba baten azpiko azalera, solido baten bolumena, lana, presioa eta gehiago kalkulatzeko erabiltzen dira. Artikulu honetan, integralen aplikazioen hainbat adibide aztertuko ditugu, eta ondoren, nola ebatzi azalpen zehatzak emango ditugu.
1. Kurba azpiko azalera zehaztea
Integralen aplikazio ohikoenetako bat funtzio baten kurbaren azpiko azalera tarte jakin batean kalkulatzea da. Demagun \(y = x^2\) kurbak eta \(x\) ardatzak \(x = 0\)-tik \(x = 2\)-ra mugatzen duten eskualdearen azalera aurkitu nahi dugula.
Problema adibidea:
Zehaztu \(y = x^2\) kurbaren azpiko azalera \(x = 0\)-tik \(x = 2\)-ra.
Eztabaida:
\(x = 0\)-tik \(x = 2\)-ra doan \(y = x^2\) kurbaren azpiko azalera aurkitzeko, funtzioaren integral definitua kalkulatu behar dugu:
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
1. urratsa: Zehaztu \(x^2\)-ren integrala.
Kontuan izan \(x^2\)-ren integrala hau dela:
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
2. urratsa: Aplikatu integralaren muga \(0\) \(2\)-ri.
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]
3. urratsa: Kalkulatu muga-balioa.
\[ \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
Beraz, \(x = 0\)-tik \(x = 2\)-ra doan \(y = x^2\) kurbaren azpiko azalera \( \frac{8}{3} \) azalera-unitatekoa da.
2. Biraka dabiltzan objektuen bolumena kalkulatzea
Integralak biraketa-solidoen bolumena kalkulatzeko ere erabiltzen dira. Eskualde bat \(x\) ardatzaren inguruan biratzen bada, objektuaren bolumena diskoaren metodoa edo eraztunaren metodoa erabiliz aurki daiteke.
Problema adibidea:
Kalkulatu \(y = \sqrt{x}\) kurbak eta \(x = 4\) lerroak mugatzen duten eskualdea \(x\) ardatzaren inguruan biratzen denean sortutako objektuaren bolumena.
Eztabaida:
Biraketa-bolumena duen solido baten bolumena aurkitzeko, diskoaren metodoa erabil dezakegu. Emaitza den solidoaren V bolumena honela adieraz daiteke:
V = π⁻¹⁸a⁸b [f(x)]², dx]
Non \(f(x) = \sqrt{x}\), \(a = 0\) eta \(b = 4\) diren.
1. urratsa: Bolumen integrala osatu.
V = π 0^4 (x)², dx
2. urratsa: Sinplifikatu funtzioa integralean.
V = π⁻¹⁴ x, dx
3. urratsa: Zehaztu \(x\)-ren integrala.
\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]
4. urratsa: Aplikatu mugak \(0\)-tik \(4\-ra.
\[ V = π [ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \]
5. urratsa: Kalkulatu muga-balioa.
\[ \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} \right) = 8\pi \]
Beraz, ondoriozko objektuaren bolumena \(8\pi\) bolumen unitatekoa da.
3. Indar aldakor batek egindako lana kalkulatzea
Aplikazio integralak fisikan ere aurkitzen dira, horietako bat indar aldakor batek objektu bat puntu batetik bestera mugitzen denean egiten duen lana kalkulatzea da.
Problema adibidea:
\(F(x) = 3x^2\) Newton-en indar batek \(x = 1\) metrotik \(x = 3\) metrora mugitzen ari den partikula bati eragiten dio. Kalkulatu indarrak egindako lana.
Eztabaida:
\(F(x)\) indarrak egindako lana \(W\) \(a\)-tik \(b\-rako desplazamenduaren gaineko \(F(x)\) integrala kalkulatuz aurki daiteke:
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Non \(a = 1\), \(b = 3\) eta \(F(x) = 3x^2\) diren.
1. urratsa: Lanaren integrala osatu.
W = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]
2. urratsa: Zehaztu \(3x^2\)-ren integrala.
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) = x^3 + C \]
3. urratsa: Aplikatu mugak \(1\)-tik \(3\-ra.
\[ W = \left[ x^3 \right]_{1}^{3} \]
4. urratsa: Kalkulatu muga-balioa.
\[ W = \left. x^3 \right|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
Beraz, indarrak egindako lana \(26\) joule da.
4. Presio hidrostatikoaren zehaztapena
Fisikan, integralak likido batean murgildutako gainazal baten gaineko presio hidrostatikoa kalkulatzeko ere erabiltzen dira.
Problema adibidea:
6 metroko altuera eta 4 metroko zabalera duen plaka bertikal bat uretan murgilduta dago, goiko aldea uraren gainazaletik gora duela. Kalkulatu plakaren gainean uraren presioak duen indar osoa.
Eztabaida:
Uretan \(h\) sakoneran dagoen presioa \(P = \rho gh\) bidez ematen da, non \(\rho\) uraren dentsitatea den (\(1000 \text{ kg/m}^3\) inguru) eta \(g\) grabitatearen azelerazioa (\(9.8 \text{ m/s}^2\) inguru).
Presio-indar osoa lortzeko, presioa plakaren azalera bertikalean integratu behar dugu.
1. urratsa: Zehaztu presio-funtzioa.
\[ P(y) = ρὸ gy \]
2. urratsa: Indar osoa \(F\) presioaren bider oinarrizko azalera \(dA\) integrala da \(y = 0\)-tik \(y = 6\)-ra.
\[ F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]
3. urratsa: Konstanteak sinplifikatu.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]
4. urratsa: Zehaztu \(y\)-ren integrala.
\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]
5. urratsa: Aplikatu mugak \(0\)-tik \(6\-ra.
F = 4 ∫1000 ∫9.8 [y^2}{2} ∫0^6]
6. urratsa: Kalkulatu muga-balioa.
F = 4 ≤ 1000 ≤ 9.8 ≤ 6^2/2 = 4 ≤ 1000 ≤ 9.8 ≤ 18 = 705600
Beraz, plakaren gaineko ur-presioaren indar osoa \(705600\) Newton da.
Ondorioa
Integralak hainbat aplikaziotan erabiltzeak analisi-ahalmen izugarria eskaintzen du kantitate fisiko konplexuak kalkulatzeko. Artikulu honetan, integralak nola aplikatzen diren aztertu dugu kurba baten azpiko azalera, biraketa-solido baten bolumena, indar aldakor batek egindako lana eta presio hidrostatikoa kalkulatzeko. Integrazio-teknikak ondo ulertuta, zientzian eta ingeniaritzan sortzen diren hainbat arazo praktiko konpon ditzakegu.
