Erlazio trigonometrikoen erabilerari buruzko galdera-adibideak
Trigonometria matematikaren adarra da, triangeluen aldeen eta angeluen arteko erlazioak aztertzen dituena. Trigonometria ulertzea ezinbestekoa da, hainbat arlotan erabiltzen baita maiz, besteak beste, arkitekturan, ingeniaritzan, astronomian eta baita kriptografian ere. Artikulu honek hainbat arazo-adibide aztertuko ditu eta erlazio trigonometrikoak erabiltzearen testuinguruan aztertuko ditu.
Trigonometriaren oinarrizko kontzeptuak
Adibide-problemetan sartu aurretik, trigonometriako oinarrizko kontzeptu batzuk berrikusiko ditugu. Triangelu zuzen batean, hiru funtzio trigonometriko nagusi erabiltzen dira: sinua, kosinua eta ukitzailea.
– Angelu baten sinua (sin) angeluaren aurkako aldearen luzeraren eta hipotenusaren luzeraren arteko erlazioa da.
\[
\sin \theta = \frac{\text{aurrealdea}}{\text{hipotenusa}}
\]
– Angelu baten kosinua (cos) angeluaren ondoko aldearen luzeraren eta hipotenusaren luzeraren arteko erlazioa da.
\[
cos θ = frac{\text{ondoko aldea}}{\text{hipotenusa}}
\]
– Angelu baten tangentea (tangentea) angeluaren aurkako aldearen luzeraren eta angeluaren ondoko aldearen luzeraren arteko erlazioa da.
\[
\tan \theta = \frac{\text{aurrealdea}}{\text{alboaldea}}
\]
1. galderaren adibidea: Dorrearen altuera kalkulatzea
Galdera: Behatzaile bat dorre batetik 50 metrora dago eta dorrearen gailurraren kota-angelua 30 gradukoa dela neurtzen du. Zehaztu dorrearen altuera.
Irtenbidea: Problema hau konpontzeko, trigonometrian ukitzaile funtzioa erabil dezakegu. Behatzailearen eta dorrearen arteko kota-angelua eta distantzia horizontala ezagutzen ditugunez, hau idatz dezakegu:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{dorrearen altuera}}{\text{distantzia horizontala}}
\]
Ordezkatu balio ezagunak:
\[
tan 30^\zirkunferentzia = \frac{h}{50}
\]
Jakina da \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) dela, beraz:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
Orduan, dorrearen altuera, \(h\), ekuazioaren bi aldeak 50ez biderkatuz aurki daiteke:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \gutxi gorabehera 28.87 \, \text{metro}
\]
Dorrearen altuera 28.87 metro ingurukoa da.
2. galderaren adibidea: Distantzia zehaztea kosinua erabiliz
Galdera: Itsasontzi batek 10 km ekialdera egiten du, gero 60 gradu iparralderantz aldatzen du norabidea eta 15 km nabigatzen du. Zehaztu abiapuntuaren eta itsasontziaren arteko distantzia.
Eztabaida: Problema hau konpontzeko, trigonometriako kosinuaren araua erabil dezakegu. Ontziaren bidaia koordenatu-sistema batean marrazten badugu, 10 km eta 15 km-ko aldeak eta 60 graduko angelua dituen triangelu bat aurkituko dugu. Kosinuaren araua erabil dezakegu ontziaren abiapuntuaren eta azken posizioaren arteko distantzia aurkitzeko.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cosC
\]
Non:
– (a = 10)
– (b = 15)
– (C = 60°)
Ordezkatu balio ezagunak:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 ∫10 ∫15 ∫cos 60
\]
Badakigu (\cos 60^\circ = 0.5\) dela, orduan:
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 ∫10 ∫15 ∫0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = \sqrt{175} \gutxi gorabehera 13.23 \, \text{km}
\]
Beraz, abiapuntutik itsasontzirainoko distantzia 13.23 km ingurukoa da.
3. galderaren adibidea: Sinua erabiltzea triangelu baten aldeak zehazteko
Galdera: Triangelu batean, bi alde 7 cm eta 10 cm-koak dira, eta bien arteko angelua 45 gradukoa da. Kalkulatu triangeluaren hirugarren aldearen luzera.
Eztabaida: Sinu-legea erabil dezakegu arazo hau konpontzeko. Sinu-legean, aldeak \(a\), \(b\) eta \(c\) dituen triangelu batentzat eta aldeen artean \(a\) eta \(b\) artean \(C\) angelua:
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]
Hala ere, kasu honetan, kosinuen legea zuzenean erabil dezakegu gauzak errazteko. Kosinuen legeak hau dio:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cosC
\]
Non:
– (a = 7)
– (b = 10)
– (C = 45°)
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), beraz:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70²
\]
\[
c^2 = 149 – 70\sqrt{2}
\]
\(c\)-ren balioa kalkulatzea:
\[
c \gutxi gorabehera \sqrt{149 – 70\sqrt{2}} \gutxi gorabehera 5.97 \, \text{cm}
\]
Beraz, triangeluaren hirugarren aldearen luzera 5.97 cm ingurukoa da.
Ondorioa
Trigonometria tresna oso erabilgarria da triangelu eta angeluekin lotutako hainbat problema konpontzeko. Sinu, kosinu, tangente eta trigonometriaren legeak ondo ulertuta, arazo praktiko asko konpondu ditzakegu. Artikulu honek arrazoi trigonometrikoak erabiltzeko hainbat adibide aztertzen ditu, eta espero dugu irakurleei ulermena hobetzen lagunduko dietela.
