Bektore-eragiketen eztabaida-galderen adibidea
Bektore-eragiketak matematikako oinarrizko kontzeptuak dira, eta maiz agertzen dira ikerketa-arlo askotan, hala nola fisikan, ingeniaritzan eta informatikan. Artikulu honetan, bektore-eragiketen hainbat adibide eta haien irtenbide aztertuko ditugu, ulermen sakonago eta zehatzagoa emateko. Adibide hauek oinarrizko eragiketak landuko dituzte, hala nola bektoreen batuketa eta kenketa, baita eragiketa aurreratuagoak ere, hala nola biderketa eskalarra eta bektore gurutzatuen biderketa.
1. Bektoreen batuketa eta kenketa
1. galderaren adibidea
Emanik A eta B bi bektore osagai moduan:
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Kalkulatu bi bektoreen batuketa eta kenketaren emaitza.
Eztabaida
Bektoreen batuketa egiteko, bi bektoreen dagokion osagai bakoitza batzen dugu.
\[ A + B = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 3 + 4 \\ -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Bektoreen kenketa egiteko, bi bektoreen dagokion osagai bakoitza kentzen dugu.
\[ \mathbf{A} – \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – (-1) \\ 3 – 4 \\ -1 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]
2. Biderketa eskalarra bektore bidez
2. galderaren adibidea
C bektore bat eta k eskalar bat emanda:
\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[k = 4\]
Kalkulatu C bektorearen eta k eskalarraren arteko biderkadura eskalarra.
Eztabaida
Eskalar bat bektore batez biderkatzea bektorearen osagai bakoitza eskalarraz biderkatuz egiten da.
\[ k \mathbf{C} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix} \]
3. Puntu-produktua
3. galderaren adibidea
Bi D eta E bektore emanda:
\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]
Kalkulatu bi bektoreen biderkadura eskalarra.
Eztabaida
Bi bektoreren biderkadura eskalarra dagokien osagaien biderkadurak batuz lortzen da.
\[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 – 4 = -1 \]
4. Produktu gurutzatua
4. galderaren adibidea
Bi bektore emanda, F eta G:
\[ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Kalkulatu bi bektoreen biderkadura gurutzatua.
Eztabaida
Hiru dimentsioko espazioko bi bektoreren biderkadura gurutzatua bektore horiek osatzen duten matrizearen determinantea erabiliz lortzen da. Biderkadura gurutzatua formula honen bidez ematen da:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} eta \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
Hau honela kalkula daiteke:
\[
\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 eta 4 \\ -1 eta 2 \end{vmatrix} – \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 eta 4 \\ 1 eta 2 \end{vmatrix} + \k{vmatrix} + 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
\]
Azpimatrize bakoitzaren determinantea kalkulatzea:
\[
= \mathbf{i} (3 \cdot 2 – 4 \cdot -1) – \mathbf{j} (2 \cdot 2 – 4 \cdot 1) + \mathbf{k} (2 \cdot -1 – 3 \cdot 1)
\]
\[
= \mathbf{i} (6 + 4) – \mathbf{j} (4 – 4) + \mathbf{k} (-2 – 3)
\]
\[
= \mathbf{i} (10) – \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (-5)
\]
\[
= \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}
\]
Beraz, F eta G-ren biderkadura gurutzatua hau da:
\[ F \times G = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \]
5. Bi bektoreen arteko angelua zehaztea
5. galderaren adibidea
Bi H eta I bektore emanda:
\[ \mathbf{H} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Zehaztu bi bektoreen arteko angelua.
Eztabaida
Bi bektoreren arteko angelua θ kalkulatzeko, biderkadura eskalarraren eta bi bektoreen magnitudeen arteko erlazioa kalkula daiteke:
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = \| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \| \cos \theta \]
Lehenik eta behin, kalkulatu biderkadura eskalarra (H → I):
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = 6 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = 6 + 8 – 6 = 8 \]
Ondoren, kalkulatu bi bektoreen magnitudea:
\[ \| \mathbf{H} \| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]
\[ \| \mathbf{I} \| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]
Ondoren, ordezkatu balio hauek angeluaren formulan:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{H} \cdot \mathbf{I}}{\| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \|} = \frac{8}{7\sqrt{21}} \]
\[ θ = \cos^{-1} \left( \frac{8}{7\sqrt{21}} \right) \]
Azken emaitza gisa, kalkulagailua erabil dezakegu angeluaren balioa aurkitzeko:
\[ θ \gutxi gorabehera 73,4^\zirkunferentzia \]
Ondorioa
Bektore-eragiketen kontzeptua funtsezkoa da matematikan eta zientzian. Artikulu honek hainbat adibide-problema eta haien irtenbideak aztertzen ditu, besteak beste, bektoreen batuketa eta kenketa, biderketa eskalarra, biderketa eskalarra, biderketa gurutzatua eta bi bektoreren arteko angelua zehaztea. Adibide hauekin lan eginez, bektore-eragiketen ulermena hobetzea eta bektoreak hainbat testuingurutan inplikatzen dituzten problemak konpontzen laguntzea espero dugu.
