Zirkulu eta ukitzaileei buruzko galdera-adibideak
Zirkuluak gai garrantzitsua dira matrize-geometrian, non distantziari, angeluei eta formari buruzko kontzeptu sakonak erakusten diren. Gai honetan maiz eztabaidatzen den kontzeptu bat zirkulu baten ukitzailea da. Artikulu honetan, zirkuluak eta ukitzaileak dituzten hainbat arazo-adibide aztertuko ditugu.
Zirkuluen eta ukitzaileen oinarrizko ulermena
Zirkulua
Zirkulua plano bateko puntu guztien multzoak osatzen duen forma geometrikoa da, zirkuluaren zentroa deritzon puntu batetik distantzia finko batera daudenak. Distantzia finko horri zirkuluaren erradioa deritzo.
Ukitzailea
Zirkulu baten ukitzailea puntu bakarrean zirkulua ukitzen duen lerroa da. Puntu horri ukitze-puntua deritzo. Ukitzaileek hainbat propietate garrantzitsu dituzte, besteak beste:
– Ukitzaile-zuzena beti da zirkuluaren erradioarekiko perpendikularra ukitzaile-puntuan.
– Zirkulutik kanpoko puntu batetik zirkuluraino doan ukitzaile baten luzera bera da puntu horretatik bi ukitzaile marrazten badira.
Galdera eta eztabaida adibideak
Jarraian, zirkulu eta ukitzaileen kontzeptua zehatz-mehatz aztertzen duten hainbat galdera-eredu aurkeztuko ditugu.
1. galderaren adibidea: Zuzen ukitzailearen luzera aurkitzea
Galdera:
Emanik zentroa \(O\) eta erradioa \(r = 6 \, \text{cm}\) dituen zirkulu bat. Zirkuluaren kanpoko \(P\) puntutik, zirkuluaren zentrotik 10 cm-ra dagoena, bi ukitzaile \(PA\) eta \(PB\) marrazten dira zirkuluraino. Kalkulatu ukitzailearen \(PA\) luzera.
Eztabaida:
Problema honetan, Pitagorasen teorema erabil dezakegu. Marraztu triangelu bat \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (kanpoko puntutik zirkuluaren erdigunerainoko distantzia)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (zirkuluaren erradioa)
– \(PA\) aurkitu behar den ukitzaile-zuzena da
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Beraz, \(PA\) ukitzaile-lerroaren luzera 8 cm da.
2. galderaren adibidea: Tangentzia-puntua aurkitzea
Galdera:
Emanik ((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) ekuazioa duen zirkulu bat eta (y = 2x + 1\) zuzen bat. Zehaztu zirkuluaren eta zuzenaren arteko ukitze-puntua.
Eztabaida:
Lehenik eta behin, zirkuluaren zentroa eta erradioa identifikatuko ditugu:
– Zentroa \(O(3, 4)\)
– Erradioa r = 25 = 5
Ukitze-puntua aurkitzeko, demagun ukitze-puntua \(T(x_1, y_1)\) dela, eta hau ere \(y = 2x + 1\) zuzenaren gainean dagoela. Orduan:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\)-k zirkuluaren ekuazioa ere bete behar du:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Ordezkatu \(y_1 = 2x_1 + 1\) zirkuluaren ekuazioan:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Bi karratu kalkulatu behar ditugu.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Konbinatu bi emaitzak:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Kendu 25 bi aldeetatik:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Ebatzi ekuazio koadratikoa:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4 \sqrt{29}
\]
Kalkulatu \(y_1\)-ren balioa:
Zeinak y = 2x + 1 betetzen duen:
– Baldin eta \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\) bada, orduan \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Baldin eta \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\) bada, orduan \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Ebaluazioa:
Beraz, zirkuluaren ekuazioaren eta zuzen horren bi ebakidura puntu lortzen ditugu.
3. galderaren adibidea: Zuzen ukitzaile baten ekuazioa zehaztea
Galdera:
Emanik ((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20) ekuazioa duen zirkulu bat. Zehaztu ((6, 7)) puntutik igarotzen den zirkuluarekiko ukitzaile zuzenaren ekuazioa.
Eztabaida:
Kanpoko puntu ezagun batetik \((h, k)\) zentroa eta \(r\) erradioa dituen zirkulu baten tangentea ekuazio honen bidez aurki daiteke:
Ukitzaile zuzena kanpoko puntutik igarotzen da \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Ordezkatu kanpoko puntua \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Zuzen ukitzailearen ekuazioa hau da:
\[
x + y = 9
\]
Beraz, zirkulu-lerroaren puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioaren aldakuntza oso handia da eta alda daiteke emaitzaren edo irudikapen bisualaren arabera.
Ondorioa
Zirkuluen eta ukitzaileen eztabaidak matematikaren oinarrizko hainbat alderdi jorratzen ditu, Pitagorasen teorema bezalako oinarrizko formulak aplikatzetik hasi eta ekuazio koadratikoak ebazteraino. Adibide hauen bidez, kontzeptu hauek egoera konplexu samarretan nola aplikatu hobeto uler dezakegu. Zorionez, artikulu honek zirkuluak eta ukitzaileak dituzten arazoei nola heldu eta nola konpondu argitzen lagundu dizu.
