Matrizeak erabiliz transformazio-konposizioari buruzko galdera-adibideak
Transformazio geometrikoak gai garrantzitsua dira matematikan, batez ere geometrian eta aljebra linealean. Transformazio horien artean translazioak, biraketak, islapenak eta dilatazioak egon daitezke. Artikulu honetan, hainbat transformazioren konposizioa matrizeak erabiliz nola irudikatu eta ebatzi daitekeen aztertuko dugu. Problema eta irtenbideen adibideak ere emango ditugu.
1. Matrizeak erabiliz eraldatzeko sarrera
Eraldaketa geometrikoak matrizeen bidez adieraz daitezke. Adibidez, errotazio, translazio, islapen eta dilatazio eraldaketak matrize formatuan formula daitezke honela:
1. Itzulpena
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b \end{pmatrix}
\]
2. Errotazioa
\[
R(θ) = \begin{pmatrix} \cosθ & -\sinθ \\ \sinθ & \cosθ \end{pmatrix}
\]
3. X ardatzaren inguruko hausnarketa
\[
\text{X islapena} = \begin{pmatrix} 1 eta 0 \\ 0 eta -1 \end{pmatrix}
\]
4. Dilatazioa (handitzea/eskalatzea)
\[
D(k) = \begin{pmatrix} k eta 0 \\ 0 eta k \end{pmatrix}
\]
2. Matrizeekin eraldaketen konposizioa
Transformazio-konposizioa objektu bati bi transformazio edo gehiago sekuentzialki aplikatzea da. Matrizeak erabiliz transformazio-konposizioa kalkulatzeko, transformazioak adierazten dituzten matrizeak biderkatu besterik ez dugu egiten.
Galdera eta eztabaida adibideak
Galdera
P(2, 3) puntua emanda, aurkitu ondorengo eraldaketaren emaitza:
1. Errotazioa erlojuaren orratzen noranzkoan (90°)
2. 2ko eskala-faktoreko dilatazioa
3. (1, -2)-ren itzulpena
Eztabaida
1. Errotazioa 90°-ko noranzkoan
\(90^\circ\)-ren erloju-orratzen noranzkoan biratzeko matrizea:
\[
\begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\]
P puntuan errotazio-eraldaketa bat aplikatuz:
\[
\begin{pmatrix} 0 eta 1 \\ -1 eta 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \\ -1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Errotazio-eraldaketaren ondorengo P puntua P'(3, -2) da.
2. 2ko eskala-faktoreko dilatazioa
2. eskala-faktoreko dilataziorako matrizea:
\[
\begin{pmatrix} 2 eta 0 \\ 0 eta 2 \end{pmatrix}
\]
Dilatazio-eraldaketa bat aplikatuz P'(3, -2) puntuan:
\[
\begin{pmatrix} 2 eta 0 \\ 0 eta 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 3 + 2 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
Dilatazio-transformazioaren ondoren P' puntua P”(6, -4) da.
3. (1, -2)-ren itzulpena
Hona hemen emandako itzulpen eragiketak:
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}
\]
P”(6, -4) puntuan translazio-eraldaketa aplikatuz:
\[
T(6, -4) = \begin{pmatrix} 6 + 1 \\ -4 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -6 \end{pmatrix}
\]
Beraz, eraldaketa guztiak aplikatu ondoren amaierako puntua P(7, -6) da.
3. Transformazioaren konposizioa kalkulatzea
Galdera gehigarriak
Q(1, 2) puntua eta ondorengo eraldaketa emanda:
1. X ardatzaren inguruko hausnarketa.
2. Erlojuaren orratzen noranzkoan (CW) errotazioa 180° gradukoa da.
Eztabaida
1. X ardatzaren inguruko hausnarketa
X ardatzaren inguruko islapen-matrizea:
\[
\begin{pmatrix} 1 eta 0 \\ 0 eta -1 \end{pmatrix}
\]
Q puntuan islapen-eraldaketa bat aplikatuz:
\[
\begin{pmatrix} 1 eta 0 \\ 0 eta -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Islapen-eraldaketaren ondorengo Q puntua Q'(1, -2) da.
2. Errotazioa 180°-ko noranzkoan
Erlojuaren orratzen noranzkoan \(180^\circ\) biraketa matrizea:
\[
\begin{pmatrix} \cos(180^\circ) & -\sin(180^\circ) \\ \sin(180^\circ) & \cos(180^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Q'(1, -2) puntuan \(180^\circ\) errotazio-eraldaketa bat aplikatuz:
\[
\begin{pmatrix} -1 eta 0 \\ 0 eta -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 1 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 1 + -1 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}
\]
Beraz, eraldaketa guztiak aplikatu ondoren amaierako puntua Q(-1, 2) da.
Itxiera
Matrizeak erabiltzen dituen eraldaketa-konposizio metodoa oso erabilgarria da eraldaketa geometrikoak sinplifikatzeko eta sistematikoki kalkulatzeko. Goiko urratsak jarraituz, erraz ulertu eta aplikatu ditzakegu eraldaketa mota desberdinak puntu bakar bati edo beste objektu geometriko bati. Matrizeak eraldaketatan erabiltzen ikasteak errazten du hainbat arlotan aplikatzea, hala nola fisikan, ordenagailu bidezko grafikoetan eta abarretan.
