Determinazio-koefizienteari buruzko eztabaida-galdera baten adibidea
Determinazio-koefizientea (R²) erregresio-analisian parametro garrantzitsua da, erregresio-eredu batek datuen benetako aldakortasuna zein ondo azaltzen duen adierazten baitu. Artikulu honetan, determinazio-koefizientearen kontzeptua azalduko dugu adibide eta eztabaida zehatz baten bidez.
Determinazio-koefizientearen oinarrizko kontzeptua
Determinazio-koefizientea edo \(R^2\) 0tik 1era bitarteko eskalan neurtzen da, non:
– \(R^2 = 0 \) adierazten du erregresio-ereduak ez duela datuen aldakortasuna batere azaltzeko gaitasunik.
– \(R^2 = 1\)-k erakusten du erregresio-ereduak datuen aldakortasun guztia ezin hobeto azaltzeko gai dela.
Determinazio-koefizientea kalkulatzeko oinarrizko formula hau da:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Non:
– SSR (Hondar Karratuen Batura) ereduak aurreikusitako balioen eta benetako balioen arteko desberdintasunen karratuen batura da.
– SST (Karratuen Batura Totala) benetako balioaren eta benetako balioen batez bestekoaren arteko desberdintasunen karratuen baturaren batura da.
Problemen adibidea
Determinazio-koefizientearen kalkulua sakonago ulertzeko, azter dezagun adibide-problema bat.
Problema adibidea:
Demagun 10 ikasleren ikasketa ordu kopuruari (X) eta azterketen puntuazioei (Y) buruzko datuak ditugula:
| Ikasleak | Ikasketa orduak (X) | Azterketaren puntuazioa (Y) |
|——-|———————–|———————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Erregresio lineal eredu sinple bat sortuko dugu, non azterketa puntuazioak (Y) ikasketa orduetan (X) oinarrituta iragartzen diren.
Eztabaida
1. Erregresio Lineal Eredu Sinple bat Eraikitzea
Erregresio lineal sinple baten ereduak honako forma du:
\[ Y = a + bX \]
Non:
– \(Y\) aurreikusitako probaren puntuazioa da.
– \( X \) ikasketa ordu kopurua da.
– \(a \) ebakidura-puntua da (Y ardatzean X = 0 denean).
– \(b \) malda da (erregresio-zuzenaren inklinazioa).
\(a\) eta \(b\) parametroak kalkulatzeko, formula hau erabiltzen dugu:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
Non \(n\) datu kopurua den (kasu honetan n = 10).
Taularen arabera kalkula dezakegu:
– (X = 36 batura)
– (Y = 704 batura)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– (\(\sum{XY} = 2576\)
Kalkula dezagun b lehenik:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
Ondoren, kalkulatzen dugu:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Beraz, lortzen dugun erregresio linealaren eredua hau da:
\[ Y = 56 + 4X \]
2. Kalkulatu aurreikusitako balioa (Y')
Ondoren, \( Y' \) balio iragarriaren kalkulatzen dugu \( X \) bakoitzerako:
| Ikasleak | Ikasketa orduak (X) | Azterketaren puntuazioa (Y) | Aurreikusitako puntuazioa (Y') |
|——-|———————–|———————–|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | (56 + 4(2) = 64) |
| 2 | 3 | 64 | (56 + 4(3) = 68) |
| 3 | 4 | 70 | (56 + 4(4) = 72) |
| 4 | 5 | 85 | (56 + 4(5) = 76) |
| 5 | 2 | 57 | (56 + 4(2) = 64) |
| 6 | 3 | 68 | (56 + 4(3) = 68) |
| 7 | 4 | 72 | (56 + 4(4) = 72) |
| 8 | 5 | 90 | (56 + 4(5) = 76) |
| 9 | 3 | 62 | (56 + 4(3) = 68) |
| 10 | 4 | 78 | (56 + 4(4) = 72) |
3. SSR eta SST kalkulatzea
Ondoren, SSR eta SST kalkulatzen ditugu \(R^2\) lortzeko.
SSR:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
Non:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Determinazio-koefizientea kalkulatzea \(R^2\):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[R^2 = 1 – 0.41\]
\[R^2 = 0.59\]
Ondorioa
Goiko kalkulutik, determinazio-koefiziente bat lortu dugu (R2 = 0.59). Horrek adierazten du sortu dugun erregresio linealaren ereduak azterketa-puntuen aldakortasunaren % 59 inguru azal dezakeela ikasketa-orduen arabera. Aldakortasunaren gainerako % 41a ereduan sartu ez diren beste faktore batzuen ondorio izan daiteke.
Goiko urratsak eta kalkuluak ulertuz, determinazio-koefizientearen garrantzia ikus dezakegu eraikitzen dugun erregresio-ereduak datuen benetako aldakortasuna nola azaltzen duen ebaluatzeko. Oso tresna erabilgarria da analisi estatistikoan eta datuen modelizazioan.
