Zirkulu Sektoreen Adibide Galderak eta Eztabaida
Zirkulu-sektoreak matematikako gai garrantzitsua dira, eta maiz agertzen dira azterketetan eta praktika-galderetan. Sektore bat bi erradiok eta horiek lotzen dituen arkuak mugatzen duten zirkulu-zatia da. Artikulu honetan, zirkulu-sektoreei buruzko hainbat adibide-problema aztertuko ditugu, azalpen zehatzekin batera, gure ulermena sakontzeko.
Zirkulu-sektore baten definizioa
Zirkulu-sektore bat bi erradio eta arku batek mugatutako zirkulu-sektore bat da. Sektore baten azalera zirkulu osoaren zati baten arabera kalkulatzen da. Sektore bat kalkulatzeko erabiltzen den formula nagusia honako hau da:
– Ebakuntza-eremua: \[L_ebakuntza = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– Arku-luzera: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Non:
– \( \theta \) sektore-angeluaren tamaina gradutan da,
– \(r\) zirkuluaren erradioa da,
– \( \pi \) konstante bat da (gutxi gorabehera 3.14159).
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galdera:
10 cm-ko erradioa duen zirkulu bat eta 90°-ko angelu zentral bat duen sektore bat emanda. Kalkulatu sektorearen azalera.
Eztabaida:
Jakina da:
– (r = 10) cm
– (θ = 90°)
Sektore baten azalerarako formula hau erabiltzen dugu:
L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ cm})^2\]
L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Baldin eta \(\pi\) 3.14 dela hartzen bada, orduan:
L_juring = 25 × 3.14 cm² = 78.5 cm²
Beraz, sektorearen azalera 78.5 cm² da.
2. galdera:
Zirkulu-sektore batek 7 cm-ko erradioa eta 11 cm-ko arku-luzera ditu. Zehaztu sektorearen angelu zentrala radianetan.
Eztabaida:
Jakina da:
– (r = 7) cm
– Arku-luzera \( P_b = 11 \text{ cm} \)
Arku-luzeraren formula erabiltzen dugu angelua θ aurkitzeko:
P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Angelua radianetan aurkitzeko eskatzen digutenez, 360° \(2\pi\) radianekin ordezkatzen dugu:
P_b = θ bider r
\[11 = \theta \times 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \gutxi gorabehera 1.57 \text{ rad}\]
Beraz, sektorearen angelu zentrala 1.57 radian da.
3. galdera:
16 cm-ko erradioa duen zirkulu batek 200 cm²-ko azalera duen sektore bat du. Kalkulatu sektorearen angelu zentrala.
Eztabaida:
Jakina da:
– (r = 16) cm
– \( L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
Sektore baten azaleraren formula erabiltzen dugu \( \theta \) aurkitzeko:
L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (16)^2\]
200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 256\]
200 = \frac{θ \times 256 \times \pi}{360^\circ}\]
200 × 360 = θ × 256 × 3.14
\[72000 = θ × 256 × 3.14\]
\[72000 = \theta \times 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \gutxi gorabehera 89.45^\zirkunferentzia\]
Beraz, sektorearen angelu zentrala gutxi gorabehera 89.45° da.
4. galdera:
Kalkulatu 12 cm-ko erradioa eta 120°-ko angelu zentral bat dituen sektore baten zirkunferentzia osoa.
Eztabaida:
Jakina da:
– (r = 12) cm
– (θ = 120°)
Lehenik eta behin, arkuaren luzera aurkitzen dugu:
P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 12\]
P_b = 1/3 × 2/pi × 12
P_b = 8 pi cm
Ondoren, sektorearen zirkunferentzia kalkulatzen dugu (arkuaren luzera + bi erradio):
K = 2r + P_b
K = 2 × 12 cm + 8 pi cm
K = 24 cm + 8 pi cm
Baldin eta \(\pi\) 3.14 dela hartzen bada, orduan:
K = 24 cm + 8 × 3.14 cm
K = 24 cm + 25.12 cm
K = 49.12 cm
Beraz, sektorearen zirkunferentzia osoa 49.12 cm-koa da.
5. galdera:
18 cm-ko erradioa duen zirkulu batek 45°-ko angelua osatzen duen sektore bat badu, zehaztu arkuaren luzera eta sektorearen azalera.
Eztabaida:
Jakina da:
– (r = 18) cm
– (θ = 45°)
1. Arkuaren luzera:
P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ cm}\]
P_b = 1/8 × 36 pi cm
P_b = 4.5 pi cm
Baldin eta \(\pi\) 3.14 dela hartzen bada, orduan:
P_b = 4.5 × 3.14 cm = 14.13 cm inguru
Beraz, arkuaren luzera 14.13 cm ingurukoa da.
2. Sektorearen eremua:
L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ cm})^2\]
L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Baldin eta \(\pi\) 3.14 dela hartzen bada, orduan:
L_juring = 40.5 × 3.14 cm² = 127.17 cm² gutxi gorabehera
Beraz, sektorearen azalera gutxi gorabehera 127.17 cm² da.
Ondorioa
Artikulu honetan, zirkulu-sektoreei eta haien irtenbideei buruzko hainbat adibide-problema aztertu ditugu. Zirkulu-sektoreak ulertzearen funtsa sektore baten azalera eta arku baten luzera kalkulatzeko oinarrizko formulak menperatzean datza. Maiz praktikatzeak eta formula hauek arazo mota desberdinetan nola aplikatu ulertzeak antzeko problemak konpontzeko gaitasuna hobetzen lagunduko dizula espero dugu.
