Adibide galderak eta sekzio konikoetarako ukitzaileen eztabaida
Pendahuluan
Koniko-sekzioa plano baten eta kono dipolar baten arteko ebakiduraren ondorioz sortzen den kurba da. Kurba horien artean daude zirkuluak, elipseak, parabolak eta hiperbolak. Koniko-sekzioen ukitzailea da gai garrantzitsu bat. Koniko-sekzio baten ukitzailea puntu bakarrean koniko-kurba ukitzen duen zuzena da. Artikulu honek hainbat arazo adibide eta koniko-sekzioen ukitzaileen eztabaida aztertuko ditu.
Zirkulu bati ukitzailea
Zirkulua forma sinpleena eta simetria perfektua duen sekzio konikoa da. Has gaitezen zirkulu baten ukitzaileei buruzko adibide-problema batekin.
1. galderaren adibidea
Emanik (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25) ekuazioa duen zirkulu bat. Zehaztu zirkuluaren ((5, -3)) puntuan ukitzaile zuzenaren ekuazioa.
Eztabaida
Zirkulu baten ekuazio orokorra \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \) da, non \( (h, k) \) zirkuluaren zentroa eta \( r \) erradioa diren. Problema honetan, zirkuluaren zentroa \((h, k)\) \((2, -3)\) da eta erradioa \( r = \sqrt{25} = 5 \).
Zirkuluaren \((x_1, y_1)\) puntuan dagoen ukitzailea formula hau erabiliz aurki daiteke:
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
Sartu balio ezagunak:
\[ (x – 2)(5 – 2) + (y + 3)(-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2)(3) + (y + 3)(0) = 25 \]
\[ 3 (x – 2) = 25 \]
\[ 3x – 6 = 25 \]
\[ 3x = 31 \]
\[ x = \frac{31}{3} \]
Ukitzaile zuzenaren ekuazioa \(x = \frac{31}{3}\) da, baina metodo honetan errore bat dago, \((5, -3)\) puntua zirkuluko puntu bat baita argi eta garbi. Beraz, metodo tradizionala erabiltzen dugu ukitzaile zuzenaren malda puntu zehatz honetan ordezkatuz:
Ukitzaile-puntua \((5, -3)\) da, orduan, erradio-lerroaren malda (m) \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\) da, non ukitzaile-lerroaren malda aurreko ukitzaile bertikalerako definitu gabe geratzen den.
Elipsearekiko lerro ukitzailea
Elipsea bi simetria-ardatz dituen sekzio konikoa da: ardatz nagusi bat (luzea) eta ardatz txiki bat (laburra). Hona hemen elipseekin dauden arazoen adibide batzuk.
2. galderaren adibidea
Elipse bat emanik, \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) ekuazioa duena. Zehaztu elipseko \((2, \frac{3}{2})\) puntuan zuzen ukitzailearen ekuazioa.
Eztabaida
Elipsearekiko \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) zuzen ukitzailearen ekuazioa \((x_1, y_1)\) puntuan hau da:
\[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
\(a = 4\) eta \(b = 3\) direnean, ordezkatu \(a\) eta \(b\) balioak eta \((2, \frac{3}{2})\) puntua:
\[ \frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
\[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
Zatikiak ezabatzeko, biderkatu ekuazio osoa 8z:
\[ x + 4y = 8 \]
Beraz, elipsearekiko ukitzaile zuzenaren ekuazioa \(x + 4y = 8\) da.
Parabolarekiko lerro ukitzailea
Parabola simetria-ardatz bat eta erpin bat dituen sekzio konikoa da. Hona hemen parabolekin lotutako arazoen adibide batzuk.
3. galderaren adibidea
Emanik (y^2 = 4x) ekuazioa duen parabola bat. Zehaztu parabolaren ((1, 2)) puntuan ukitzaile zuzenaren ekuazioa.
Eztabaida
Parabolarekiko (y^2 = 4ax) zuzen ukitzailearen ekuazioa (x_1, y_1)) puntuan hau da:
\[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
Parabola ekuaziotik (y^2 = 4x) hau lortzen dugu, non (a = 1) den. Ordezkatu (a)-ren balioa eta ((1, 2)) puntua:
\[ 2y = 2(1)(x + 1) \]
\[ 2y = 2x + 2 \]
\[ y = x + 1 \]
Beraz, parabolarekiko ukitzaile zuzenaren ekuazioa \( y = x + 1 \) da.
Hiperbolarekiko lerro ukitzailea
Hiperbola bi adar eta bi asintota dituen sekzio konikoa da. Hona hemen hiperbolekin dauden arazoen adibide batzuk.
4. galderaren adibidea
Hiperbola bat emanik, \( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \) ekuazioa duena. Zehaztu hiperbolaren \((5, 0)\) puntuan ukitzaile zuzenaren ekuazioa.
Eztabaida
Hiperbolarekiko \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) ukitzaile zuzenaren ekuazioa \((x_1, y_1)\) puntuan hau da:
\[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
\(a = 5\) eta \(b = 4\) direnean, ordezkatu \(a\) eta \(b\) balioak eta \((5, 0)\) puntua:
\[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[ x = 5 \]
Beraz, hiperbolarekiko ukitzaile zuzenaren ekuazioa \( x = 5 \) da.
Ondorioa
Koniko-sekzioetarako ukitzaileek funtsezko zeregina dute matematikan eta hainbat aplikazio praktikotan. Koniko-sekzio mota desberdinen ukitzaileen ekuazioak nola aurkitu ulertzea, hala nola zirkuluak, elipseak, parabolak eta hiperbolak, ezinbesteko trebetasuna da kalkuluan eta geometria analitikoan. Goiko adibide eta eztabaidekin, irakurleek koniko-sekzioetarako ukitzaileak zehazteko kontzeptuak eta metodoak hobeto ulertzea espero da.
