Adibide galderak eta funtzio injektibo, gainjektibo eta bijektiboen eztabaida
Funtzio baten definizioa eta matematikan duen erabilgarritasuna eztabaida gai liluragarria izan ohi da. Testuinguru honetan, maiz aurkitzen ditugu funtzio injektiboak, gainjektiboak eta bijektiboak bezalako terminoak. Hiru funtzio mota hauek ulertzea ezinbestekoa da analisi matematikorako eta informatikan, ekonomian eta fisikan bezalako hainbat arlotan dituzten aplikazio praktikoetarako.
Funtzio injektibo, gainjektibo eta bijektiboen ulermena
Adibide-galderak eta haien eztabaida aztertu aurretik, gogora ditzagun hiru funtzioen definizioak.
1. Funtzio injektibo bat (funtzio bat-batekoa): f : A → B funtzio bat injektibotzat hartzen da A domeinuko a1 eta a2 guztietarako, f(a1) = f(a2) bada, orduan a1 a2-ren berdina izan behar bada. Beste era batera esanda, funtzio injektibo batek ziurtatzen du A domeinuko elementu desberdinak B kodomeinuko elementu desberdinetara mapatzen direla.
2. Funtzio gainjartzailea (funtzio gainera): f : A → B funtzio bat gainjartzailea dela esaten da B kodomeinuko elementu guztiek A domeinuan bertara mapatutako gutxienez elementu bat badute. Kasu honetan, B kodomeinuak ez du elementu "hutsik" edo A domeinuko parekorik.
3. Funtzio bijektiboa (banakako korrespondentzia): f : A → B funtzio bati bijektiboa deitzen zaio injektibo eta gainjektiboa bada. Horrek esan nahi du A domeinuko elementu bakoitzak pareko bakarra duela B kodomeinuan, eta B kodomeinuko elementu bakoitzak ere pareko bakarra duela A domeinuan.
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galdera: Funtzio injektibo
Galdera:
Emanik f : ℝ → ℝ funtzio bat, f(x) = 2x + 3 bezala definitua. Frogatu funtzio hau funtzio injektibo bat dela.
Eztabaida:
Funtzio hau injektibo dela frogatzeko, f(a) = f(b) bada, a = b dela erakutsi behar dugu.
Demagun f(a) = f(b) dela, hau esaten dugu:
2a + 3 = 2b + 3
Kendu 3 bi aldeetatik:
\[ 2a = 2b \]
Zatitu 2z bi aldeetan:
\[ a = b \]
f(a) = f(b)-k a = b eragiten duela erakutsi dugunez, orduan f(x) = 2x + 3 funtzioa funtzio injektibo bat da.
2. galdera: Funtzio gainjartzailea
Galdera:
Emanik g funtzio bat : ℝ → ℝ, g(x) = x^3 bezala definitua. Frogatu funtzio hau funtzio gainjartzailea dela.
Eztabaida:
Funtzio hau gainjartzailea dela frogatzeko, erakutsi behar dugu ℝ kodomeinuko y elementu bakoitzeko gutxienez x elementu bat dagoela ℝ domeinuan, non g(x) = y den.
Izan bedi y ∈ ℝ. x aurkitu nahi dugu honela:
\[ x^3 = y \]
Hartu (x = \sqrt[3]{y}):
g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y
ℝ kodomeinuko y bakoitzerako \( x = \sqrt[3]{y} \) den x aurki dezakegunez, orduan g(x) = x^3 funtzioa gainjartzaile funtzio bat da.
3. galdera: Funtzio bijektiboak
Galdera:
Emanik h : ℝ → ℝ funtzio bat, h(x) = x – 1 bezala definitua. Frogatu funtzio hau bijektiboa dela.
Eztabaida:
Injektiboa:
h(x) injektibo bat dela frogatzeko, h(a) = h(b) bada, a = b dela erakutsi behar dugu.
Izan bedi h(a) = h(b):
\[ a – 1 = b – 1 \]
Gehitu 1 bi aldeetan:
\[ a = b \]
h(a) = h(b)-k a = b eragiten duenez, orduan h(x) = x – 1 funtzioa funtzio injektibo bat da.
Gainjartzailea:
h(x) gainjartzailea dela frogatzeko, erakutsi behar dugu ℝ kodomeinuko y elementu bakoitzeko gutxienez x elementu bat dagoela ℝ domeinuan, non h(x) = y den.
Izan bedi y ∈ ℝ. x aurkitu nahi dugu honela:
\[ x – 1 = y \]
Gehitu 1 bi aldeetan:
\[ x = y + 1 \]
ℝ kodomeinuko y bakoitzerako x = y + 1 den x bat aurki dezakegunez, orduan h(x) = x – 1 funtzioa gainjartzaile funtzio bat da.
h(x) injektibo eta gainjektiboa denez, orduan h(x) funtzio bijektiboa da.
4. galdera: Funtzio mota zehaztea
Galdera:
Emanik f funtzio bat : ℕ → ℕ, f(x) = 2x bezala definitua. Zehaztu ea f funtzio injektibo, gainjektibo edo bijektibo den.
Eztabaida:
Injektiboa:
Funtzio hau injektibo dela frogatzeko, f(a) = f(b) bada, a = b dela erakutsi behar dugu.
Demagun f(a) = f(b):
\[ 2a = 2b \]
Zatitu 2z bi aldeetan:
\[ a = b \]
Beraz, f(x) = 2x funtzio injektibo bat da.
Gainjartzailea:
Funtzio hau gainjartzailea dela frogatzeko, erakutsi behar dugu ℕ kodomeinuko y elementu bakoitzeko gutxienez x elementu bat dagoela ℕ domeinuan, non f(x) = y den.
Baina kontuan izan kodomeinua ℕ dela (zenbaki naturalak), f(x) = 2x-k zenbaki bikoitiak baino ez dituela ematen. Demagun y zenbaki bakoitia dela, ez dago ℕ-n x-rik, non 2x = y den.
Beraz, f(x) = 2x ez da funtzio gainjartzailea.
f(x) ez denez gainjektiboa, orduan f(x) ere ez da bijektiboa.
Goiko adibideetan oinarrituta, funtzio motak (injektiboak, gainjektiboak, bijektiboak) nola frogatu eta identifikatu ikus dezakegu hainbat funtzio-definiziotatik abiatuta. Funtzio hauek ulertzea ezinbestekoa da matematikaren alderdi askotan eta haren benetako aplikazioetan.
