Banaketa binomialaren funtzioari buruzko galdera-adibideak
Banaketa binomiala probabilitate-banaketa diskretu bat da, eta esperimentu bateko arrakasta kopurua deskribatzen du, bi emaitza posible dituena: arrakasta eta porrota. Saiakera bakoitzari saiakera deitzen zaio, eta banaketa binomiala askotan erabiltzen da hainbat saiakera independentetan lortutako arrakasta kopurua interesgarria den egoeretan. Artikulu honetan, banaketa binomialaren oinarrizko kontzeptuak aztertuko ditugu eta adibideak eta irtenbideak emango ditugu.
Banaketa Binomialaren Funtzioaren Oinarrizko Kontzeptuak
Adibide-galderetan eta eztabaidan sartu aurretik, banaketa binomialarekin lotutako oinarrizko kontzeptu batzuk aztertuko ditugu.
1. Definizioa: Banaketa binomiala 'n' saiakuntza independenteetan lortutako arrakastaren batura gisa definitzen da, non saiakuntza bakoitzak bi emaitza posible dituen: arrakasta (p probabilitatearekin) edo porrota (q = 1 – p probabilitatearekin).
2. Probabilitate funtzioa: Banaketa binomialaren probabilitate funtzioa hau da:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Non:
– \( P(X = k) \) n saiakuntzetan k arrakasta izateko probabilitatea da.
– \( \binom{n}{k} \) n eta k konbinazio bat da, hau da, \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) bezala definitzen dena.
– \(p\) saiakera bakoitzean arrakasta izateko probabilitatea da.
– \( (1-p) \) saiakera bakoitzean huts egiteko probabilitatea da.
3. Espero den balioa eta bariantza:
– Banaketa binomialaren espero den balioa (batez bestekoa) \( \mu = np \) da.
– Banaketa binomialaren bariantza \( \sigma^2 = np(1-p) \) da.
Orain, kontzeptu hauek adibide-problema batean aplikatuko ditugu, ulermen sakonagoa lortzeko.
1. galderaren adibidea: Banaketa binomialaren oinarrizko kalkuluak
Galdera:
Enpresa batek osagai elektronikoak ekoizten ditu, osagai bakoitzak kalitate-proba gainditzeko 0.95eko probabilitatearekin. 10 osagai ekoizten badira, kalkulatu zehazki 8 osagaik kalitate-proba gainditzeko probabilitatea.
Eztabaida:
Banaketa binomialaren formula erabil dezakegu arazo hau konpontzeko. Lehenik eta behin, parametro hauek identifikatzen ditugu:
– \(n \) (saiakera kopuru osoa) = 10
– \(k\) (arrakasta kopurua) = 8
– \(p\) (arrakasta izateko probabilitatea) = 0.95
– \(q \) (huts egiteko probabilitatea) = 1 – 0.95 = 0.05
Ondoren, ordezkatu balio hauek banaketa binomialaren formulan:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Lehenik eta behin, kalkulatu \( \binom{10}{8} \) konbinazioa:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 × 9 × 8!}{8! × 2!} = \frac{10 × 9}{2 × 1} = 45
\]
Ondoren, kalkulatu probabilitateak \( (0.95)^8 \) eta \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \gutxi gorabehera 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Azkenik, biderkatu balio horiek guztiak lortzeko:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 ± 0.0744
\]
Beraz, 10 osagaitik 8k kalitate-proba gainditzeko probabilitatea % 0.0744 edo % 7.44 ingurukoa da.
2. galderaren adibidea: Probabilitate metatua
Galdera:
Enpresa berarekin oraindik, kalkulatu 10 osagaitik 9k gutxienez kalitate-proba gainditzeko probabilitatea.
Eztabaida:
Problema hau konpontzeko, probabilitate metatua kalkulatu behar dugu. 10 osagaietatik gutxienez 9k proba gainditzeko probabilitateak esan nahi du \( P(X \geq 9) \) kalkulatzen dugula, honela idatz daitekeena:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P (X = 10)
\]
Banaketa binomialaren formula erabiliz:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Lehenik eta behin, kalkulatu kasu bakoitzerako konbinazioa:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Ondoren, kalkulatu \( P(X = 9) \) eta \( P(X = 10) \) probabilitateak:
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \gutxi gorabehera 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 ± 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} \gutxi gorabehera 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
\( P(X \geq 9) \)-ren probabilitate osoa
\[
P(X ∫9) = 0.3151 + 0.5987 ∫0.9138 gutxi gorabehera
\]
Beraz, 10 osagaitik gutxienez 9k kalitate-proba gainditzeko probabilitatea % 0.9138 edo % 91.38 ingurukoa da.
3. galderaren adibidea: Espero den balioa eta bariantza
Galdera:
Kalkulatu ekoitzitako 10 osagaietatik kalitate-proba gainditzen duten osagaien kopuruaren espero den balioa eta bariantza, gainditzeko probabilitatea 0.95ekoa izanik.
Eztabaida:
Erabili formula hau:
– Espero den balioa (batez bestekoa) \( \mu = np \)
– Bariantza \( \sigma^2 = np(1-p) \)
\(n = 10\) eta \(p = 0.95\) direnean:
\[
μ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]
Beraz, kalitate-proba gainditzen duten osagaien kopuruaren balio esperoaren balioa 9.5 da, eta bariantza 0.475.
Ondorioa
Goiko hiru adibide-problemen bidez, banaketa binomiala erabiliz probabilitatea nola kalkulatu aztertu dugu hainbat egoeratarako: probabilitate zehatza kalkulatzea, probabilitate metatua eta espero den balioa eta bariantza kalkulatzea. Banaketa binomialaren ezagutza erabilgarria da hainbat arlotan, hala nola fabrikazioan, ikerketa medikoan eta gizarte-estatistikan, non bi emaitza posible dituzten errepikatutako esperimentuen emaitzak azter daitezkeen erabakiak hartzen laguntzeko. Zorionez, emandako adibide-problemek eta eztabaidek banaketa binomiala hobeto ulertzen lagunduko dizute.
