Funtzioak eta funtzio ez-funtzioak eztabaidatzen dituzten galdera-adibideak: oinarrizko kontzeptuak ulertzea
Pengenalan
Matematikan, batez ere aljebran, funtzio kontzeptua oinarrizkoenetako eta garrantzitsuenetako bat da. Funtzioek bi multzoren arteko erlazioa modu oso sistematikoan ulertzeko aukera ematen digute. Funtzio bat ulertzeko, lehenik eta behin bere definizioa eta ezaugarriak ulertu behar ditugu. Hori dela eta, artikulu honek adibide problemak aztertuko ditu eta funtzioak eta ez-funtzioak eztabaidatuko ditu. Horrek gai honen ulermen sakonagoa garatzen lagunduko digu.
Funtzioaren eta Ez-Funtzioaren Definizioa
Has gaitezen funtzio baten definizioa ulertzen. Matematikan, funtzio bat domeinu-multzoko elementu bakoitza kodomeinu-multzoko elementu bakarrarekin lotzen duen erlazio gisa defini daiteke. Beste era batera esanda, domeinu-multzoko elementu bakoitzerako, elementu bakarra dago kodomeinu-multzoan.
Funtzioak diren erlazioen adibideak:
– A multzoa = {1, 2, 3}
– B multzoa = {4, 5, 6}
– R erlazioa = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
R erlazioa funtzio bat da, A multzoko elementu bakoitza B multzoko elementu bakarrarekin parekatuta dagoelako.
Funtzio ez-bat irizpide hauek betetzen ez dituen erlazioa da, hau da, jatorrizko eskualdean gutxienez elementu bat emaitza-eskualdeko elementu bat baino gehiagorekin parekatuta egotea.
Funtzioak ez diren erlazioen adibideak:
– Ezarri C = {1, 2, 3}
– Ezarri D = {4, 5, 6}
– S erlazioa = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}
S erlazioa ez da funtzio bat, C multzoko '1' elementua D multzoko bi elementurekin (hau da, 4 eta 5) parekatuta dagoelako.
Galdera eta eztabaida adibideak
Funtzioen eta ez-funtzioen ulermena gehiago sakontzeko, ikus ditzagun adibide galdera batzuk eta haien eztabaidak.
1. galderaren adibidea: Funtzioak zehaztea
X = {a, b, c, d} multzo bat eta Y = {1, 2, 3, 4} multzo bat emanda, honela definitutako erlazioa funtzio bat al da?
– R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}
Eztabaida:
X multzoko elementu bakoitza azter dezagun:
– 'a' '1'-ekin parekatuta dago
– 'b' '2'-rekin parekatuta dago
– 'c' '3'-rekin parekatuta
– 'd' '4'-rekin parekatuta
X multzoko elementu bakoitza Y multzoko elementu bakarrarekin parekatuta dagoenez, R erlazioa funtzio bat da.
2. galderaren adibidea: Funtzioak edo funtzio ez-funtzioak identifikatzea
P = {u, v, w} multzo bat eta Q = {5, 6, 7} multzo bat emanda. Zehaztu hurrengo erlazioa funtzio bat den ala ez:
– S = {(u, 5), (v, 6), (u, 7)}
Eztabaida:
Azter dezagun P multzoko elementu bakoitza:
– 'u' '5'-ekin parekatuta
– 'v' '6'-rekin parekatuta
– 'u' '7'-rekin ere parekatzen da
P multzoko 'u' elementua Q multzoko elementu bat baino gehiagorekin parekatuta dagoenez, S erlazioa ez da funtzio bat.
3. galderaren adibidea: Funtzioak grafikoetatik marraztea
Koordenatu-planoan erlazio baten grafikoa emanda, zehaztu funtzio bat den ala ez. Grafikoak puntu hauek erakusten ditu:
– (1, 2)
– (2, 4)
– (3, 6)
– (4, 8)
– (5, 10)
Eztabaida:
Grafikoko puntu bakoitzak (x, y) formako bikote bat du, eta horrek adierazten du x-ren balio jakin bakoitzeko y-ren balio bakarra dagoela lotuta. Domeinuko elementu bakoitza kodomeinuko elementu bakarrarekin parekatuta dagoenez, emandako grafikoa funtzio baten grafikoa da.
4. arazoaren adibidea: Funtzioak ekuazio forman
Zehaztu y = x² ekuazioa funtzio bat den ala ez, emandako eremua zenbaki erreal guztiek osatzen badute.
Eztabaida:
Domeinuko x-balio bakoitzak y-balio bakarra duen egiaztatu behar dugu. Ordezkatu x-balio batzuk:
– x = 1 bada, orduan y = 1² = 1
– x = 2 bada, orduan y = 2² = 4
– x = -1 bada, orduan y = (-1)² = 1
Ikus daiteke x-ren balio aukeratutako bakoitzeko y-ren balio bakarra dagoela lotuta. Beraz, y = x² funtzio bat da.
5. galderaren adibidea: Alderantzizko funtzioak dituzten funtzioak
Izan bedi f(x) f-k definitutako funtzioa: x → x + 3. Aurkitu funtzio honen alderantzizkoa, existitzen bada.
Eztabaida:
Baldin eta f: x → x + 3 bada, orduan g funtzio bat aurkitu behar dugu, non f(g(x)) = x eta g(f(x)) = x den. Ekuazio honekin hasita:
– y = x + 3
Alderantzizkoa aurkitzeko, x isolatzen dugu:
– x = y – 3
Beraz, alderantzizko funtzioa g(y) = y – 3 da.
Beraz, f(x) = x + 3 funtzioaren alderantzizkoa f⁻¹(x) = x – 3 da.
Ondorioa
Goiko eztabaidatik, funtzioak eta funtzio ez direnak dituzten hainbat arazoren adibide ikusi ditugu, haien azalpenekin batera. Funtzio kontzeptuak domeinu multzoko elementu bakoitza kodomeinu multzoko elementu bakarrarekin parekatu behar dela irakasten digu. Funtzioak grafiko eta ekuazioetatik identifikatzea ere teknika erabilgarria da erlazio baten izaera zehazteko. Problema mota hauek praktikatuz, funtzioen eta funtzio ez direnen oinarrizko kontzeptuak hobeto ezagutuko ditugu eta ulertuko ditugu, aljebran eta beste analisi matematiko batzuetan oinarri ezinbestekoak direnak.
