Arku zirkularrei buruzko eztabaida-galdera baten adibidea
Geometrian, zirkulua plano irudi bat da, aztertzeko kontzeptu interesgarri asko dituena, horietako bat arkua da. Arkua zirkuluaren ertzaren bi punturen artean dagoen zatia da. Artikulu honetan, arkuekin lotutako hainbat arazo adibide eta haien irtenbideak aztertuko ditugu.
Arku zirkularren oinarrizko ulermena
Adibide-galderetara igaro aurretik, garrantzitsua da oinarrizko kontzeptu batzuk ulertzea:
1. Zirkulua:
Zirkulua plano bateko puntu guztien multzoa da, zentro-puntu jakin batetik distantzia berera daudenak.
2. Erradioa (hatzak):
Erradioa zirkuluaren erdigunetik zirkuluaren ertzeko edozein punturainoko distantzia da.
3. Diametroa:
Diametroa zirkulu baten ertzeko puntu batetik erdigunetik kontrako aldean dagoen beste puntu batera doan distantzia luzeena da. Diametroa erradioaren bikoitza da.
4. Arkua:
Arkua zirkulu baten ertzaren zati bat da. A eta B puntuak zirkulu baten ertzean badaude, orduan AB arkua zirkuluaren A eta B arteko zatia da.
Zirkulu-arkuekin lotutako formulak
Arku baten luzera neurtzeko, hainbat formula ulertu behar ditugu:
1. Arkuaren luzera (L):
Zirkulu-arku baten luzera arkua barne hartzen duen zirkuluaren ertzaren luzera da. Formula hau da:
\[
L = r × θ
\]
non \(r\) zirkuluaren erradioa den eta \(\theta\) arkua ebakitzen duen angelu zentrala radianetan.
2. Arku-luzera gradutan:
Angelu zentrala gradutan bada, formula hau erabiltzen dugu:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
\]
non θ angelu zentrala den gradutan.
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galdera: Arku-luzera kalkulatzea
Galdera:
Zirkulu batek 10 cm-ko erradioa du. Kalkulatu 60 graduko angelu zentral batek azpitentzen duen arkuaren luzera.
Eztabaida:
– Zirkuluaren erradioa (\(r\)) = 10 cm
– Angelu zentrala (\( \theta \)) = 60°
Arku-luzeraren formula gradutan erabiliz:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
\[
L = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \pi \times 10 \text{ cm}
\]
\[
L = \frac{1}{6} \times 2 \pi \times 10 \text{ cm}
\]
\[
L = \frac{20\pi}{6} \text{ cm}
\]
\[
L \gutxi gorabehera 10.47 \text{ cm}
\]
Beraz, arkuaren luzera 10.47 cm ingurukoa da.
2. galdera: Angelu zentrala arku-luzeratik zehaztea
Galdera:
14 cm-ko erradioa duen zirkulu batek 22 cm-ko arku-luzera badu, zehaztu arkua ebakitzen duen angelu zentrala gradutan.
Eztabaida:
– Zirkuluaren erradioa (\(r\)) = 14 cm
– Arkuaren luzera (\( L \)) = 22 cm
Erabili arku-luzeraren formula \( \theta \) aurkitzeko:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
Ordezkatu balio ezagunak:
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi \times 14
\]
Isolamendua θ
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 28 \pi
\]
\[
22 × 360°C = θ × 28°P
\]
\[
7920 = θ × 28 π
\]
\[
\theta = \frac{7920}{28 \pi}
\]
\[
θ gutxi gorabehera 90.72^\zir
\]
Beraz, angelu zentralaren tamaina 90.72 gradu ingurukoa da.
3. galdera: Sektore baten azalera kalkulatzea
Galdera:
Zirkulu sektore bat 7 cm-ko erradioa duen 120 graduko angelu zentral batek osatzen du. Zehaztu sektorearen azalera.
Eztabaida:
– Zirkuluaren erradioa (\(r\)) = 7 cm
– Angelu zentrala (\( \theta \)) = 120°
Erabili sektore baten azaleraren formula:
\[
A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
\]
Ordezkatu balio ezagunak:
\[
A = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 7^2
\]
\[
A = 1/3 × pi × 49
\]
\[
A = \frac{49\pi}{3}
\]
\[
A \gutxi gorabehera 51.43 \text{ cm}^2
\]
Beraz, sektorearen azalera gutxi gorabehera 51.43 cm² da.
4. galdera: Sektore baten azaleratik arkua zehaztea
Galdera:
6 cm-ko erradioa duen zirkulu sektore baten azalera 18π cm² da. Zein da sektorearen arkuaren luzera?
Eztabaida:
– Zirkuluaren erradioa (\(r\)) = 6 cm
– Sektorearen azalera (\( A \)) = 18π cm²
Erabili sektore baten azaleraren formula angelu zentrala θ aurkitzeko:
\[
A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
\]
Ordezkatu balio ezagunak:
\[
18π = θ360° × pi × 6²
\]
\[
18π = θ360° × 36π
\]
\[
18 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 36
\]
\[
18 × 360^⋅circ = θ × 36
\]
\[
6480 = θ × 36
\]
\[
\theta = \frac{6480}{36}
\]
\[
θ = 180°
\]
Orain, 180 graduko angelu zentralarekin, arkuaren luzera zehazten dugu:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
\[
L = \frac{180^\circ}{360^\circ} \times 2 \pi \times 6
\]
\[
L = 1/2 × 2 × π × 6
\]
\[
L = π × 6
\]
\[
L \gutxi gorabehera 18.85 \text{ cm}
\]
Beraz, arkuaren luzera 18.85 cm ingurukoa da.
Ondorioa
Arku zirkularrak ulertzea eta nola kalkulatu behar diren funtsezko oinarria da geometrian eta matematikan oro har. Artikulu honetan aztertutako adibideen bidez, irakurleek hobeto ulertzea espero da arkuaren luzera, sektorearen azalera eta arku bat ebakitzen duen angelu zentralaren zehaztapena nola kalkulatu. Oinarrizko kontzeptu hauen ulermen ona oso lagungarria izango da zirkuluekin lotutako hainbat problema konpontzeko.
