Deribatuetako kate-arauaren adibide-galderak eta eztabaida
Kate-araua kalkulu diferentzialeko kontzeptu oinarrizkoenetako bat da, bi funtzio edo gehiagoz osatutako funtzio baten deribatua kalkulatzeko erabiltzen dena. Artikulu honetan, kate-arauaren oinarrizko kontzeptua, nola erabili eta batxilergoan zein unibertsitatean maiz sortzen diren deribatu-problemetan erabiltzeko adibideak aztertuko ditugu.
1. Kate-arauaren sarrera
Adibide-problema aztertu aurretik, uler dezagun zer den kate-araua. Kate-arauak dioenez, bi funtzio deribagarri baditugu (f) eta (g), eta (h = f(g(x))) funtzioen konposizioaren deribatua aurkitu nahi badugu, orduan (h)-ren deribatua hau da:
h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Hitz gutxitan esanda, kanpoko funtzioaren deribatua g(x)-ren gainean kalkulatzen dugu, eta gero emaitza barneko funtzioaren deribatuarekin biderkatzen dugu \(g(x)\).
2. Konposizioaren funtzioa ulertzea
Adibide-problemekin hasi aurretik, garrantzitsua da konposizio-funtzioak ulertzea. Konposizio-funtzio bat funtzio bat beste batean txertatuz lortzen den funtzioa da. Adibidez, \( f(x) = \sin(x) \) eta \( g(x) = x^2 \) baditugu, orduan bi funtzioen konposizioa \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \) izango da.
Konposizio funtzioetan, askotan \( g(x) \) "barne funtzioa" eta \( f(x) \) "kanpo funtzioa" bezala hartzen ditugu. Adibide honetan, barne funtzioa \( x^2 \) da eta kanpoko funtzioa sinua.
3. Adibide galderak eta eztabaida
Ikus ditzagun kate-araua erabiltzen duten problema batzuk ebazteko.
1. adibidea:
∫(y = ∫cos(3x^2)) funtzioa emanda, aurkitu y-ren lehen deribatua x-rekiko.
Eztabaida:
Lehenik, barneko eta kanpoko funtzioak identifikatzen ditugu. Hemen, barneko funtzioa \( g(x) = 3x^2 \) da eta kanpoko funtzioa \( f(g) = \cos(g) \).
Badakigu:
1. (g'(x) = 6x)
2. (f'(g) = -sin(g))
Kate-arauaren bidez, hau lortzen dugu:
y' = f'(g(x)) g'(x) = -sin(3x^2) 6x
Beraz, (y = cos(3x^2)) funtzioaren deribatua hau da:
y' = -6x \sin(3x^2)
2. adibidea:
Aurkitu \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) funtzioaren lehen deribatua.
Eztabaida:
Hemen barne funtzioa \( g(x) = 5x^3 + 2x \) da eta kanpoko funtzioa \( f(g) = e^g \).
Badakigu:
1. (g'(x) = 15x^2 + 2)
2. (f'(g) = e^g)
Kate-arauaren bidez, hau lortzen dugu:
h'(x) = f'(g(x)) g'(x) = e^{5x^3 + 2x} (15x^2 + 2)
Beraz, \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \)-ren deribatua hau da:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
3. adibidea:
Aurkitu \(y = \ln(4x^2 – 5)\) funtzioaren lehen deribatua.
Eztabaida:
Barne funtzioa \( g(x) = 4x^2 – 5 \) da eta kanpoko funtzioa \( f(g) = \ln(g) \).
Badakigu:
1. (g'(x) = 8x)
2. (f'(g) = \frac{1}{g})
Kate-arauaren bidez, hau lortzen dugu:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]
Beraz, \(y = \ln(4x^2 – 5)\)-ren deribatua hau da:
\[ y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
4. adibidea:
Funtzioa emanda (y = (3x^2 + 2x + 1)^4), aurkitu bere deribatua.
Eztabaida:
Barne funtzioa \( g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) da eta kanpoko funtzioa \( f(g) = g^4 \).
Badakigu:
1. (g'(x) = 6x + 2)
2. (f'(g) = 4g^3)
Kate-arauaren bidez, hau lortzen dugu:
y' = f'(g(x)) g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2)
Beraz, \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4\)-ren deribatua hau da:
y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2)
4. Kasu bereziak eta kate-arauen garapena
Batzuetan, kate-araua ez da bi funtzioren konposizioan gelditzen. Batzuetan funtzio bat bi funtzio baino gehiagoren konposizioa da, adibidez: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Hiru funtzioren kasuan, kate-araua geruzaka aplika daiteke:
h'(x) = f'(g(k(x))) g'(k(x)) k'(x)
Ikus dezakegu geruza bakoitzean kanpoko geruzen deribatuak kalkulatzen ditugula barneko geruzen deribatuetara igaro aurretik.
5. adibidea:
\(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)}\ emanda, aurkitu bere deribatua.
Eztabaida:
Barneko funtzioa \( k = 2x^2 + 1 \ da, erdikoa: \( g = \ln(k) \) eta kanpokoa: \( f = \sqrt{g} \).
Badakigu:
1. (k'(x) = 4x)
2. (g'(k) = \frac{1}{k})
3. (f'(g) = 1/2 g)
Aplika dezagun kate-araua geruzatan:
\[ y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]
Beraz, \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \)-ren deribatua hau da:
\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Kesimpulan
Kate-arauak funtsezko zeregina du kalkulu diferentzialean, batez ere funtzioen konposizioari dagokionez. Kate-araua ulertzeak eta menperatzeak oinarri sendoa eskaintzen du kalkuluko arazo konplexuagoei aurre egiteko. Artikulu honek hainbat adibide garrantzitsu aztertu ditu deribatuei kate-araua nola aplikatu ulertzeko. Espero dugu eztabaida hau ikasleentzat lagungarria izatea eta egoera matematiko zailetan aplika daitekeela.
