A eta B bi gertaera esklusibo gehitzeko araua eztabaidatzen duten galdera-adibideak
Probabilitate teorian, bi gertaeren batura-araua gertaera anitzen probabilitatea kalkulatzeko erabiltzen den oinarrizko printzipioetako bat da. Kontzeptu hau askotan egoera askotan aplikatzen da gertaera jakin batzuen emaitza posibleak ulertzeko. Artikulu honetan, bi gertaera elkarren artean baztertzaileen batura-araua aztertuko dugu eta kontzeptu hau argitzeko adibideak emango ditugu.
Bi gertaera elkarren artean baztertzaileen gehikuntzaren araua
Lehenik eta behin, garrantzitsua da ulertzea zer esan nahi den elkar baztertzen duten gertaerak. Bi gertaera disjuntuak edo elkar baztertzaileak direla esaten da aldi berean gertatu ezin badira. Beste era batera esanda, gertaera baten multzoko elementurik ez da beste gertaera baten multzoko elementu ere.
Probabilitatearen batuketa-arauak dioenez, bi gertaera \(A\) eta \(B\) elkarren artean baztertzaileak badira, orduan \(A\) edo \(B\) gertaeraren probabilitatea bi gertaeren probabilitateen batura da. Matematikoki, arau hau honela adieraz daiteke:
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
non \(P(A \cup B)\) \(A\) edo \(B\)-ren probabilitatea den, \(P(A)\) \(A\) gertaeraren probabilitatea den, eta \(P(B)\) \(B\) gertaeraren probabilitatea den.
Eztabaida-galderaren adibideak
Bi gertaera elkarren artean baztertzaile gehitzeko arauaren aplikazioa argitzeko adibide batzuk aztertuko ditugu.
1. galderaren adibidea
Galdera:
Sei aldeko dado bat behin botatzen da. Aurkitu emaitza den zenbakia 2 edo 4 izateko probabilitatea.
Eztabaida:
\(A\) gertaera 2 balioaren agerpen gisa defini dezakegu, eta \(B\) gertaera 4 balioaren agerpen gisa. Horrela:
– \(P(A)\) 2 balioa agertzeko probabilitatea da.
– \(P(B)\) 4 balioa agertzeko probabilitatea da.
Dado batek sei alde berdin-berdin dituenez, balio jakin bat ateratzeko probabilitatea \( \frac{1}{6} \) da. Beraz:
P(A) = \frac{1}{6}
P(B) = \frac{1}{6}
\(A\) eta \(B\) gertaerak elkarren artean baztertzaileak dira, 2 eta 4 balioak ezin baitira aldi berean agertu dadoaren jaurtiketa bakarrean. Beraz, batuketa-araua erabiliz bi gertaera elkarren artean baztertzaileetarako:
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
Beraz, agertzen den balioa 2 edo 4 izateko probabilitatea \( \frac{1}{3} \) da, hau da, % 33.33 inguru.
2. galderaren adibidea
Galdera:
Poltsa batean 10 bola daude, 4 bola gorri eta 6 bola urdinez osatuta. Ausaz bola bat aukeratzen badugu, zein da ateratako bola gorria edo urdina izateko probabilitatea?
Eztabaida:
Gertaera \(A\) pilota gorria hartzea bezala defini dezakegu, eta gertaera \(B\) pilota urdina hartzea bezala. Horrela:
– \(P(A)\) bola gorri bat ateratzeko probabilitatea da.
– \(P(B)\) bola urdin bat ateratzeko probabilitatea da.
Gertaera bakoitzaren probabilitatea honela kalkula daiteke:
\[ P(A) = \frac{\text{Bola gorrien kopurua}}{\text{Bola kopuru osoa}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Bola urdinen kopurua}}{\text{Bola kopuru osoa}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
\(A\) eta \(B\) gertaerak elkarren artean baztertzaileak dira, pilota bat ezin baita gorria eta urdina izan aldi berean. Beraz, bi gertaera elkarren artean baztertzaileetarako batuketa-araua erabiliz:
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]
Beraz, ateratako pilota gorria edo urdina izateko probabilitatea 1 da, edo % 100. Horrek zentzua du, poltsan dauden pilota guztiak gorriak edo urdinak baitira.
3. galderaren adibidea
Galdera:
20 ikasleko gela batean, 7ri matematika gustatzen zaie, 5i zientzia, eta inork ez ditu biak gustuko. Ikasle bat ausaz aukeratzen bada, kalkulatu ikasle horrek matematika edo zientzia gustuko izateko probabilitatea.
Eztabaida:
\(A\) gertaera matematika gustukotzat defini dezakegu, eta \(B\) gertaera zientzia gustukotzat. Horrela:
– \(P(A)\) ikasle bati matematika gustatzeko probabilitatea da.
– \(P(B)\) ikasle bati zientzia gustuko izateko probabilitatea da.
Gertaera bakoitzaren probabilitatea honela kalkula daiteke:
\[ P(A) = \frac{\text{Matematika gustuko duten ikasleen kopurua}}{\text{Ikasle kopuru osoa}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Zientzia gustuko duten ikasleen kopurua}}{\text{Ikasle kopuru osoa}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
\(A\) eta \(B\) gertaerak elkarren artean baztertzaileak dira, ikasle bakar batek ere ez dituelako biak gustuko. Beraz, bi gertaera elkarren artean baztertzaileetarako batuketa-araua erabiliz:
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}
Beraz, ausaz hautatutako ikasle batek matematika edo zientzia gustuko izateko probabilitatea \( \frac{3}{5} \) da, hau da, % 60.
Ondorioa
Bi gertaera elkar baztertzaileren batuketa-araua probabilitate-teorian oinarrizko kontzeptua da, gertaera bateratu baten probabilitatea kalkulatzea errazten duena. Goiko adibideetan ikusi dugu printzipio hau benetako egoeretan aplika daitekeela, hala nola dadoak botatzea, poltsa batetik bolak ateratzea edo klase bateko ikasleak hautatzea. Kontzeptu hau ulertu eta menperatuz, eguneroko bizitzan hainbat gertaera elkar baztertzaileren probabilitateak modu eraginkorragoan kalkula ditzakegu.
