Hutsuneak betetzeko arauak eztabaidatzen dituzten galdera-adibideak
Lekuak betetzeko araua, edo kokapen araua, matematika eta probabilitatearen oinarrizko kontzeptua da, oso erabilgarria egoera askotan. Arau hau normalean objektuak ordena zehatz batean edo antolamendu desberdinetan antolatzeko testuinguruan erabiltzen da. Artikulu honetan, lekuak betetzeko araua duten hainbat arazo adibide aztertuko ditugu, bakoitzaren irtenbide zehatzak emanez.
Pendahuluan
Espazioak betetzea konbinatorikan erabiltzen den teknika arrunta da, objektuen antolamendua, konbinazioa eta hautaketa aztertzen duen matematikaren arloa. Konbinatorikaren oinarrizko printzipioetako bat biderketa-araua da, eta horrek dio prozesu batean hainbat etapa badaude eta etapa bakoitzak aukera kopuru jakin bat badu, orduan antolamendu posibleen kopuru osoa etapa bakoitzeko aukeren kopurua biderkatuz aurki daitekeela.
Adibidez, bi etapa baditugu non lehenengo etapak \(m\) aukera dituen eta bigarren etapak \(n\) aukera dituen, orduan antolamendu posibleen kopuru osoa \(m \times n\) da.
Aplika dezagun kontzeptu hau adibide gisa zenbait problema ebazteko.
1. adibidea: Liburuak apal batean antolatzea
Galdera:
Bost liburu desberdin eta bost hutsune dituen apalategi bat daude. Zenbat modutan antola daitezke bost liburuak apalean?
Eztabaida:
Kasu honetan, bost liburuak bost espazio ezberdinetan antolatu behar ditugu. Permutazio-arazo bat da, ordena funtsezkoa baita. Espazioak betetzeko araua edo biderketa-araua erabil ditzakegu arazo hau konpontzeko.
1. Lehenengo gelarako, 5 liburu aukera ditugu.
2. Liburu bat lehenengo gelan jarri ondoren, 4 liburu aukera geratzen zaizkigu bigarren gelarako.
3. Hirugarren gelarako, 3 liburu aukera geratzen zaizkigu, eta abar.
Ezarpen kopuru osoaren ekuazioa hau da:
[5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120]
Beraz, bost liburuak antolatzeko 120 modu daude.
2. adibidea: Hitzak letra desberdinekin sortzea
Galdera:
Zenbat hitz desberdin osa daitezke “MATEMATIKA” hitzeko letra guztiak erabiliz, errepikatu gabe?
Eztabaida:
Lehenik eta behin "MATEMATICA" hitzak zenbat letra dituen ikusi behar dugu. 11 letra ditu, eta horietako batzuk errepikatuta daude. Errepikatutako letrak hauek dira:
– M gehienez 2
– Gehienez 3
– T gehienez 2
– Beste letrak (E, I, K) behin agertzen dira bakoitza.
Elementu errepikatuetarako permutazio-formula erabiltzen dugu, hots:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
non \(n\) elementu kopuru osoa (letrak) den eta \(n_1, n_2, ..., n_k\) elementu bakoitzaren errepikapen kopurua.
“MATEMATIKA” hitzarekin:
n = 11, n_1 = 2 (M), n_2 = 3 (A), n_3 = 2 (T), n_4 = 1 (E), n_5 = 1 (I), n_6 = 1 (K)
Beraz, osa daitezkeen hitz kopurua hau da:
\[ \frac{11!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{39916800}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
1,663,200 hitz desberdin osa daitezke.
3. adibidea: Martabak-eko konbinazio kopurua zehaztea
Galdera:
Martabak saltzaile batek bost betegarri aukera eskaintzen ditu (gazta, txokolatea, kakahueteak, banana eta mahaspasak). Bezero batek bost betegarrietatik hiru aukeratu nahi baditu bere martabakerako, zenbat konbinazio desberdin aukeratu ditzake?
Eztabaida:
Konbinazio-problema bat da hau, ez permutazio bat, ordenak garrantzirik ez duelako. Konbinazio-formula hau erabiltzen dugu:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
non \(n\) aukeren kopuru osoa den, eta \(k\) hartutako aukeren kopurua.
Kasu honetan, \(n = 5\) eta \(k = 3\) direnez:
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
10 konbinazio desberdin daude 5 aukeretatik 3 eduki aukeratzeko.
4. adibidea: Parte-hartzaileen antolaketa partida batean
Galdera:
Zortzi parte-hartzaile daude lasterketa batean. Zenbat modutan sailka daitezke lehen hiru sailkatuak?
Eztabaida:
Errepikapenik gabeko permutazio-problema bat da hau, posizioak ordena garrantzitsua dela esan nahi duelako. Permutazio-formula hau erabiltzen dugu:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Kasu honetan, \(n = 8\) eta \(k = 3\) direnean, orduan:
P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Beraz, 336 modu daude 8 parte-hartzaileren hiru postu nagusiak kokatzeko.
Artikulu honetan, hainbat arazo adibide aztertu ditugu, eta haien irtenbideak hainbat egoeratan espazioak betetzeko arauak erabiliz: liburuak apal batean antolatzetik hasi eta lehiaketa baten irabazlea zehaztera arte. Oinarri hauek ulertzeak konfiantza handiagoa emango dizu aurki ditzakezun konbinatoria eta probabilitate arazo desberdinak ebazteko.
