Δυναμική των σωματιδίων – προβλήματα και λύσεις

Δυναμική των σωματιδίων – προβλήματα και λύσεις

1. Το αντικείμενο Α με μάζα 6 kg και το αντικείμενο Β με μάζα 4 kg συνδέονται με ένα σχοινί και έλκονται από δύναμη F = 60 N, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ του δαπέδου και των δύο αντικειμένων είναι 0.5 (tan θ = ¾). Η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 m/s ^2. Ποιο είναι το μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού;

Γνωστό:

Μάζα του αντικειμένου A (m_A) = 6 κιλά

Μάζα του αντικειμένου Β (m/ _B ) = 4 kg

Δύναμη (F) = 60 Newton

Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ αντικειμένου και δαπέδου (μk ₎ = 0.5

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²

Εφάν θ = 3/4

Ζητείται: Δύναμη εφελκυσμού (T)

Λύση:

Οριζόντια συνιστώσα της δύναμης F:

Fx = Fcos _θ

Fx ₌ (60)(4/5) = (4)(12) = 48 N

Κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης F:

Fy ₌ F sin θ

Fy ₌ (60)(3/5) = (3)(12) = 36 N

Η κάθετη δύναμη στο αντικείμενο Α:

N _A = w _A = m _A g = (6)(10) = 60 N

Η κάθετη δύναμη στο αντικείμενο Β:

NB + _Fy – _wB = ₀

NB + _Fy = _wB​

N _B = w _B – F _y = m _B g – F _y = (4)(10) – 36 = 40 – 36 = 4 N

Η δύναμη της κινητικής τριβής μεταξύ του αντικειμένου Α και του δαπέδου:

f _kA = μ _k N _A = (0.5)(60) = 30 N

Η δύναμη της κινητικής τριβής μεταξύ του αντικειμένου Β και του δαπέδου:

f _kB = μ _k N _B = (0.5)(4) = 2 N

Υπολογίστε την επιτάχυνση και των δύο αντικειμένων:

ΣF = ma

F _x – T + T – f _kB – f _kA = (m _A + m _B ) α

F _x – f _kB – f _kA = (m _A + m _B ) a

48 – 2 – 30 = (6 + 4) α

16 = 10 α

α = 16/10

α = 1.6 m/ ^s²

Υπολογίστε τη δύναμη εφελκυσμού:

Αντικείμενο Α:

ΣF = ma

T _A – f _kA = m _A a

ΤΑ _– 30 = (6)(1.6)

ΤΑ – ₃₀ = 9.6

Τα = 9.6 + 30 = 39.6 _Ν

Αντικείμενο Β:

ΣF = ma

Fx _– f _kB – _TB = m _B a

48 – 2 – T _B = (4)(1.6)

46 – T _B = 6.4

46 – 6.4 = T _B

TB ₌ 39.6 N

2. Αν ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ των μπλοκ και του δαπέδου είναι 0.2, ποια είναι η επιτάχυνση και των δύο αντικειμένων; (cos 37o ⁼ 0,8, sin 37o ⁼ 0,6)

Γνωστό:

Μάζα του αντικειμένου A (m_A) = 4 κιλά

Μάζα του αντικειμένου Β (m/ _B ) = 2 kg

Δύναμη (F) = 30 Newton

Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ αντικειμένου και δαπέδου (μk ₎ = 0.2

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²

cos 37 ^o = 0.8

αμαρτία 37 ^o = 0.6

Ζητείται: Επιτάχυνση και των δύο αντικειμένων

Λύση:

Η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης F:

Fx = Fcos _θ

Fx ₌ (30)(0.8) = 24 N

Η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης F:

Fy ₌ F sin θ

Fy ₌ (30)(0.6) = 18 N

Η κάθετη δύναμη στο αντικείμενο Α:

N _A = w _A = m _A g = (4)(10) = 40 N

Η κάθετη δύναμη στο αντικείμενο Β:

NB + _Fy – _wB = ₀

NB + _Fy = _wB​

N _B = w _B – F _y = m _B g – F _y = (2)(10) – 18 = 20 – 18 = 2 N

Η δύναμη της κινητικής τριβής μεταξύ του αντικειμένου Α και του δαπέδου:

f _kA = μ _k N _A = (0.2)(40) = 8 N

Η δύναμη της κινητικής τριβής μεταξύ του αντικειμένου Β και του δαπέδου:

f _kB = μ _k N _B = (0.2)(2) = 0.4 N

Επιτάχυνση και των δύο αντικειμένων:

ΣF = ma

F _x – f _kB – f _kA = (m _A + m _B ) a

24 – 0.4 – 8 = (4 + 2) α

15.6 = 6 α

α = 15.6 / 6

α = 2.6 m/ ^s²

3. Δύο αντικείμενα συνδεδεμένα με ένα κορδόνι πάνω από μια τροχαλία, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Μάζα του αντικειμένου A = m _A , μάζα f του αντικειμένου B = m _B και η επιτάχυνση του μπλοκ B είναι a. Η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι g. Ποια είναι η δύναμη εφελκυσμού στο μπλοκ B;

Λύση:

Η οριζόντια επιφάνεια είναι λεία, επομένως δεν υπάρχει τριβή. Η μόνη δύναμη που επιταχύνει το σύστημα είναι το βάρος του μπλοκ Β.

Επιτάχυνση συστήματος:

Η δύναμη εφελκυσμού (T):

Αντικαταστήστε το m _A στην εξίσωση 1 με το m _A στην εξίσωση 2.

1. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ στατικής και δυναμικής στο πλαίσιο των σωματιδίων;
   • Απάντηση: Η στατική ασχολείται με τη μελέτη των δυνάμεων σε σωματίδια σε ισορροπία, όπου όλες οι δυνάμεις είναι ισορροπημένες και δεν υπάρχει επιτάχυνση. Η δυναμική, από την άλλη πλευρά, μελετά τις δυνάμεις και την προκύπτουσα κίνηση των σωματιδίων όταν οι δυνάμεις είναι ανισορροπημένες, προκαλώντας επιτάχυνση.
2. Πώς εφαρμόζεται ο Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα στην κίνηση ενός σωματιδίου;
   • Απάντηση: Ο Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα ορίζει ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα σωματίδιο είναι ίση με το γινόμενο της μάζας του σωματιδίου επί την επιτάχυνσή του: $F=ma$Αυτός ο νόμος περιγράφει πώς μια δύναμη θα επηρεάσει την κίνηση ενός σωματιδίου, ανάλογα με τη μάζα του και την επιτάχυνση που παράγεται από τη δύναμη.
3. Ποια είναι η αρχή διατήρησης της γραμμικής ορμής και πώς εφαρμόζεται στα σωματίδια;
   • Απάντηση: Η αρχή διατήρησης της γραμμικής ορμής ορίζει ότι η συνολική γραμμική ορμή ενός κλειστού συστήματος σωματιδίων παραμένει σταθερή εάν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα. Αυτό σημαίνει ότι η συνολική ορμή πριν και μετά από μια αλληλεπίδραση μεταξύ σωματιδίων μέσα στο σύστημα θα είναι η ίδια.
4. Πώς σχετίζεται η έννοια του έργου που παράγεται σε ένα σωματίδιο με τη δύναμη που ασκείται και τη μετατόπιση του σωματιδίου;
   • Απάντηση: Το έργο που παράγεται σε ένα σωματίδιο είναι το γινόμενο της δύναμης που ασκείται στο σωματίδιο, της μετατόπισης του σωματιδίου και του συνημίτονου της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων δύναμης και μετατόπισης: $W=Fd\mathrm{\kappa \alpha \lambda ά\theta \iota }\theta$.
5. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ κινητικής ενέργειας και δυναμικής ενέργειας στο πλαίσιο ενός σωματιδίου;
   • Απάντηση: Η κινητική ενέργεια είναι η ενέργεια ενός σωματιδίου λόγω της κίνησής του και δίνεται από τον τύπο 1/2. ​mv², Όπου $m$ είναι η μάζα και $v$ είναι η ταχύτητα. Η δυναμική ενέργεια είναι η αποθηκευμένη ενέργεια σε ένα σωματίδιο λόγω της θέσης του σε ένα πεδίο δυνάμεων (όπως βαρυτικά ή ηλεκτρικά πεδία). Η συγκεκριμένη έκφραση για τη δυναμική ενέργεια εξαρτάται από τη δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο.
6. Πώς σχετίζεται η ώθηση σε ένα σωματίδιο με την αλλαγή στην ορμή του;
   • Απάντηση: Η ώθηση σε ένα σωματίδιο είναι το γινόμενο της δύναμης που ασκείται στο σωματίδιο επί τη χρονική διάρκεια κατά την οποία ασκείται η δύναμη. Ισούται με την αλλαγή στην ορμή του σωματιδίου: $I=F\Delta t=\Delta p$.
7. Τι εννοούμε με τον όρο «ελεύθερο σωματίδιο» και πώς συμπεριφέρεται;
   • Απάντηση: Ένα ελεύθερο σωματίδιο είναι αυτό που δεν υπόκειται σε καμία δύναμη. Σύμφωνα με τον Πρώτο Νόμο του Νεύτωνα, ένα ελεύθερο σωματίδιο είτε θα παραμείνει σε ηρεμία αν αρχικά βρίσκεται σε ηρεμία είτε θα κινηθεί με σταθερή ταχύτητα αν αρχικά βρίσκεται σε κίνηση.
8. Ποιος είναι ο ρόλος της τριβής στη δυναμική των σωματιδίων;
   • Απάντηση: Η τριβή είναι μια δύναμη που αντιτίθεται στη σχετική κίνηση μεταξύ επιφανειών που έρχονται σε επαφή. Στο πλαίσιο της δυναμικής των σωματιδίων, η τριβή μπορεί να επιβραδύνει ή να σταματήσει την κίνηση ενός σωματιδίου, ανάλογα με την κατεύθυνση και το μέγεθος της δύναμης τριβής.
9. Πώς επηρεάζεται η τροχιά ενός σωματιδίου από μια κεντρική δύναμη;
   • Απάντηση: Μια κεντρική δύναμη είναι αυτή που ασκείται κατά μήκος της γραμμής που συνδέει το σωματίδιο με ένα σταθερό σημείο, που ονομάζεται κέντρο. Τέτοιες δυνάμεις είναι συνηθισμένες στις βαρυτικές και ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις και θα προκαλέσουν την κίνηση του σωματιδίου σε μια τροχιά που διατηρεί μια συγκεκριμένη στροφορμή γύρω από το κέντρο, με αποτέλεσμα συχνά ελλειπτικές ή κυκλικές τροχιές.
10. Ποια είναι η σχέση μεταξύ της συνολικής εξωτερικής δύναμης που ασκείται σε ένα σύστημα σωματιδίων και του ρυθμού μεταβολής της συνολικής γραμμικής ορμής του συστήματος;

• Απάντηση: Σύμφωνα με τον Δεύτερο Νόμο του Νεύτωνα που εφαρμόζεται σε ένα σύστημα σωματιδίων, η συνολική εξωτερική δύναμη που ασκείται στο σύστημα είναι ίση με τον ρυθμό μεταβολής της συνολικής γραμμικής ορμής του συστήματος: Fext​=dP/dt​, Όπου $\mathbf{P}$ είναι η συνολική γραμμική ορμή.