Κυκλική κίνηση – προβλήματα και λύσεις

1. Ένα αντικείμενο 10 kg κινείται σε κύκλο με σταθερή ταχύτητα 4 m/s. Αν η ακτίνα του κύκλου είναι 0.5 μέτρα, τότε:

1) Η συχνότητα των κύκλων είναι 4/π Hz

2) Η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι 32 ms ^-2

3) Η κεντρομόλος δύναμη είναι 320 N

4) Η περίοδος είναι 4π s.

Ποιες είναι οι αληθείς δηλώσεις;

Γνωστό:

Μάζα αντικειμένου (m) = 10 kg

Η γραμμική ταχύτητα (v) = 4 m/s

Η ακτίνα του κύκλου (r) = 0.5 μέτρα

Λύση:

1) Η συχνότητα του κύκλου

v = 2 π rf

4 = 2 π (0.5) f

4 = π f

f = 4/π Hertz

2) Η κεντρομόλος επιτάχυνση

a _s = ^v2 / r = 42 ^/ 0,5 = 16 / 0,5 = 32 m/ ^s2

3) Η κεντρομόλος δύναμη

F = ma _s = (10)(32) = 320 N

4) Περίοδος

T = 1 : f = 1 : 4/π = 1 x π/4 = π/4

2. Ένα αντικείμενο κινείται σε κύκλο ακτίνας 6 μέτρων. Αν το αντικείμενο διαγράψει 16 κύκλους σε 2 λεπτά, ποια είναι η γραμμική του ταχύτητα;

Γνωστό:

Ακτίνα (r) = 6 μέτρα

Η γωνιακή ταχύτητα (ω) = 16 περιστροφές / 2 λεπτά = 8 περιστροφές / λεπτά = 8 περιστροφές / 60 δευτερόλεπτα = 0.13 περιστροφές/δευτερόλεπτο.

Ζητείται: Η γραμμική ταχύτητα (v);

Λύση:

v = r ω = (6 μέτρα)(0.13 στροφές/δευτερόλεπτο) = 0.8 μέτρα/δευτερόλεπτο

Σε ακτίνια:

1 περιστροφή = 2π ακτίνια = 2(3.14) = 6.28 ακτίνια

Η γωνιακή ταχύτητα = 8 (6.28) ακτίνια / 60 δευτερόλεπτα = 50.24 ακτίνια / 60 δευτερόλεπτα = 0.84 ακτίνια/δευτερόλεπτο

v = r ω = (6 μέτρα)(0.84 ακτίνια/δευτερόλεπτο) = 5.04 ακτίνια/δευτερόλεπτο.

3. Ένα αντικείμενο με ακτίνα 20/π cm περιστρέφεται 4 φορές σε 1 δευτερόλεπτο. Ποια είναι η γραμμική ταχύτητα της άκρης ενός αντικειμένου;

Γνωστό:

Ακτίνα (r) = 20/π cm = 20 / 3.14 cm = 6.4 cm = 0.064 μέτρα

Η γωνιακή ταχύτητα (ω) = 4 στροφές / 1 δευτερόλεπτο = 4 στροφές / δευτερόλεπτο.

1 περιστροφή = (2)(3.14) ακτίνια = 6.28 ακτίνια

Η γωνιακή ταχύτητα (ω) = (4)(6.28) ακτίνια/δευτερόλεπτο = 25.12 ακτίνια/δευτερόλεπτο

Ζητείται: Η γραμμική ταχύτητα της άκρης του αντικειμένου (v)

Λύση:

v = r ω = (0.064 μέτρα)(25.12 ακτίνια/δευτερόλεπτο) = 1.6 μέτρα/δευτερόλεπτο

4. Ένα αντικείμενο που κινείται κυκλικά με σταθερή ταχύτητα, η γραμμική ταχύτητα του αντικειμένου εξαρτάται από…

Λύση:

Η εξίσωση της γραμμικής ταχύτητας της κυκλικής κίνησης:

v = η γραμμική ταχύτητα

d = 2πr = περιφέρεια

T = περίοδος = ο χρόνος που απαιτείται για μία πλήρη περιστροφή.

5. Ένα αντικείμενο κινείται σε κύκλο ακτίνας 50 μέτρων. Αν η γωνιακή ταχύτητα του αντικειμένου είναι 120 στροφές/λεπτό, ποιο είναι το χρονικό διάστημα και η γραμμική ταχύτητα του αντικειμένου;

Γνωστό:

Ακτίνα (r) = 50 cm = 0.5 μέτρα

Η γωνιακή ταχύτητα (ω) = 120 στροφές ανά λεπτό = 120 στροφές / 1 λεπτό = 120 στροφές / 60 λεπτά = 2 στροφές / 1 δευτερόλεπτο

1 περιστροφή = 2π ακτίνια

Η γωνιακή ταχύτητα (ω) = 2 (2π ακτίνια) / 1 δευτερόλεπτο = 4π ακτίνια/δευτερόλεπτο

Ζητείται: Το χρονικό διάστημα (T) και η γραμμική ταχύτητα (v)

Λύση:

Περίοδος (Τ):

Περίοδος είναι ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη περιστροφή.

Ένα αντικείμενο κάνει δύο περιστροφές σε 1 δευτερόλεπτο = 1 περιστροφή ανά 0.5 δευτερόλεπτα. Περίοδος = 0.5 δευτερόλεπτα.

Η γραμμική ταχύτητα (v):

v = r ω = (0.5 μέτρα)(4π ακτίνια/δευτερόλεπτο) = 2π μέτρα/δευτερόλεπτο.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της εφαπτομενικής και της γωνιακής ταχύτητας σε κυκλική κίνηση;
Απάντηση : Η εφαπτομενική ταχύτητα είναι η γραμμική ταχύτητα ενός σημείου σε ένα περιστρεφόμενο αντικείμενο και υποδεικνύει πόσο γρήγορα κινείται το σημείο κατά μήκος της κυκλικής του διαδρομής. Η γωνιακή ταχύτητα, από την άλλη πλευρά, αναφέρεται στο πόσο γρήγορα αλλάζει η γωνία καθώς περιστρέφεται το αντικείμενο. Η εφαπτομενική ταχύτητα μετριέται συνήθως σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο (m/s), ενώ η γωνιακή ταχύτητα μετριέται συνήθως σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο (rad/s).
Τι είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση και πώς σχετίζεται με την κυκλική κίνηση;
Απάντηση : Η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι η επιτάχυνση που βιώνει ένα αντικείμενο που κινείται σε κυκλική τροχιά. Δείχνει πάντα προς το κέντρο του κύκλου και είναι υπεύθυνη για τη διατήρηση του αντικειμένου στην κυκλική του τροχιά. Ο τύπος για την κεντρομόλο επιτάχυνση είναι $_{c} = v 2 ^{/ r}$ όπου $v$ είναι η εφαπτομενική ταχύτητα και $r$ είναι η ακτίνα του κύκλου.
Γιατί ένα σώμα που κινείται ομαλά κυκλικά έχει επιτάχυνση ακόμα και αν η ταχύτητά του είναι σταθερή;
Απάντηση : Ενώ το μέγεθος (ή το μέγεθος) της ταχύτητας παραμένει σταθερό σε ομοιόμορφη κυκλική κίνηση, η κατεύθυνση της ταχύτητας αλλάζει. Δεδομένου ότι η επιτάχυνση ορίζεται ως μια μεταβολή στην ταχύτητα και η ταχύτητα είναι ένα διανυσματικό μέγεθος με μέγεθος και κατεύθυνση, οποιαδήποτε μεταβολή στην κατεύθυνση αποτελεί επιτάχυνση. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι κεντρομόλος επιτάχυνση.
Πώς σχετίζεται η απαιτούμενη δύναμη για τη διατήρηση της κυκλικής κίνησης με τη μάζα του αντικειμένου και την ακτίνα του κύκλου;
Απάντηση : Η απαιτούμενη δύναμη για τη διατήρηση της κυκλικής κίνησης δίνεται από τον τύπο της κεντρομόλου δύναμης: $Fc = m_{\times} a c =_{m} \times v 2 / ^{r .}$
Γιατί νιώθετε ότι σας σπρώχνουν προς τα έξω όταν ένα αυτοκίνητο στρίβει απότομα (π.χ., σε έναν κυκλικό κόμβο);
Απάντηση : Αυτό οφείλεται στην «πλασματική» φυγόκεντρο δύναμη, η οποία είναι μια αντιληπτή δύναμη που ασκείται προς τα έξω σε ένα σώμα που κινείται σε κυκλική τροχιά. Δεν είναι μια πραγματική δύναμη με την έννοια της ώθησης ή της έλξης, αλλά μάλλον ένα αποτέλεσμα αδράνειας. Το σώμα σας θέλει να κινηθεί σε ευθεία γραμμή (πρώτος νόμος του Νεύτωνα), αλλά τα τοιχώματα ή η ζώνη ασφαλείας του αυτοκινήτου ασκούν μια δύναμη για να σας κρατήσουν σε κύκλο. Αυτό δημιουργεί την αίσθηση ότι σας ωθούν προς τα έξω.
Ποιος είναι ο ρόλος της τριβής στην κυκλική κίνηση, ειδικά όταν ένα αυτοκίνητο στρίβει σε έναν δρόμο;
Απάντηση : Η τριβή μεταξύ των ελαστικών και του δρόμου παρέχει την απαραίτητη κεντρομόλο δύναμη που επιτρέπει σε ένα αυτοκίνητο να στρίψει. Χωρίς επαρκή τριβή, το αυτοκίνητο θα γλιστρούσε ή θα ολισθαίνονταν, αποτυγχάνοντας να ακολουθήσει την προβλεπόμενη κυκλική του τροχιά.
Πώς αλλάζει η κεντρομόλος δύναμη αν η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς μειωθεί στο μισό αλλά η ταχύτητα παραμείνει η ίδια;
Απάντηση : Εάν η ακτίνα μειωθεί στο μισό και η ταχύτητα παραμείνει η ίδια, η κεντρομόλος δύναμη θα διπλασιαστεί, καθώς η κεντρομόλος δύναμη είναι αντιστρόφως ανάλογη με την ακτίνα.
Γιατί δεν μπορούμε να έχουμε φυγόκεντρο δύναμη χωρίς κεντρομόλο δύναμη σε κυκλική κίνηση;
Απάντηση : Η φυγόκεντρος δύναμη είναι μια αντιδραστική ή «πλασματική» δύναμη που παρατηρείται σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς. Φαίνεται να ωθεί τα αντικείμενα προς τα έξω από το κέντρο περιστροφής. Ωστόσο, για να κινηθεί ένα αντικείμενο σε κυκλική τροχιά, πρέπει να υπάρχει μια πραγματική δύναμη που ασκείται προς το κέντρο, η οποία είναι η κεντρομόλος δύναμη. Χωρίς την κεντρομόλο δύναμη, δεν θα υπήρχε εξαρχής κυκλική κίνηση και, επομένως, δεν θα υπήρχε αντίληψη της φυγόκεντρου δύναμης.
Πώς είναι η βαρυτική δύναμη μεταξύ Γης και Σελήνης υπεύθυνη για την κυκλική τροχιά της Σελήνης;
Απάντηση : Η βαρυτική δύναμη μεταξύ Γης και Σελήνης λειτουργεί ως η κεντρομόλος δύναμη που κρατά τη Σελήνη στην τροχιά της γύρω από τη Γη. Χωρίς αυτή τη βαρυτική έλξη, η Σελήνη θα κινούνταν σε ευθεία γραμμή αντί για την κυκλική (ή ακριβέστερα, ελλειπτική) τροχιά της.
Αν ένα σπάγκο δεμένο σε μια μπάλα κοντύνει κατά το ήμισυ ενώ την περιστρέφει κυκλικά με την ίδια ταχύτητα, πώς θα αλλάξει η τάση του σπάγκου;

Απάντηση : Εάν το μήκος της χορδής (το οποίο αντιστοιχεί στην ακτίνα της κυκλικής τροχιάς) μειωθεί στο μισό διατηρώντας παράλληλα την ταχύτητα σταθερή, η κεντρομόλος δύναμη που απαιτείται (και επομένως η τάση της χορδής) θα διπλασιαστεί. Αυτό συμβαίνει επειδή η κεντρομόλος δύναμη (και, ποικίλα, η τάση σε αυτό το σενάριο) είναι αντιστρόφως ανάλογη με την ακτίνα.