Προσθήκη διανυσμάτων χρησιμοποιώντας στοιχεία – προβλήματα και λύσεις
1. Τρία διανύσματα όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
V1 = 30
V2 = 30
V 3 = 40
Ποια είναι τα διανύσματα που προκύπτουν.
Γνωστό:
V1 = 30, γωνία μεταξύ V1 και άξονα x = 30 o
V2 = 30, γωνία μεταξύ V2 και άξονα x = 30 o
V3 = 40, γωνία μεταξύ V3 και άξονα x = 0 o
Ζητούνται: Τα διανύσματα που προκύπτουν
Λύση:
Τα συστατικά των διανυσμάτων :
V 1x = (V 1 )(cos 30 o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. Θετικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του θετικού άξονα x (προς τα δεξιά).
V 1y = (V 1 )(sin 30 o ) = (30)(0.5) = 15. Θετικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του θετικού άξονα y (προς τα πάνω).
V 2x = (V 2 )(cos 30 o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. Αρνητική επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του αρνητικού άξονα x (προς τα αριστερά).
V 2y = (V 2 )(sin 30 o ) = (30)(0.5) = 15. Θετικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του θετικού άξονα y (προς τα πάνω).
V 3x = (V 3 )(cos 0 o ) = (40)(1) = 40. Θετικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του θετικού άξονα x (προς τα δεξιά).
V 3y = (V 3 )(sin 0 o ) = (40)(0) = 0
Τα στοιχεία των προκύπτοντων διανυσμάτων:
V x = V 1x – V 2x + V 3x = 15√3 – 15√3 + 40 = 40
V y = V 1y + V 2y + V 3y = 15 + 15 = 30
2. Δύο δυνάμεις κάθετες μεταξύ τους, F 1 = 12 N και F 2 = 5 N. Ποια είναι η συνισταμένη και των δύο δυνάμεων;
Γνωστό:
Δύναμη 1 (F1 ) = 12 Νιούτον
Δύναμη 2 (F2 ) = 5 Νιούτον
Ζητούνται: Τα διανύσματα που προκύπτουν ( ΣF)
Λύση:
ΣF2 = F12 + F22 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169
ΣF = √ 169 = 13 Νιούτον
3. Τρία διανύσματα,
V1 = 30
V2 = 30
V3 = 40
Προσδιορίστε τα διανύσματα που προκύπτουν.
Γνωστό:
v 1 = 30, σχηματίζει 30 ° γύρω από τον αρνητικό άξονα x
v 2 = 30, κάνει 30 o γύρω από τον θετικό άξονα x
v 3 = 40, κάνει 0 o γύρω από τον θετικό άξονα x
Ζητούνται: Τα διανύσματα που προκύπτουν
Λύση:
Τα συστατικά των διανυσμάτων:
v 1x = v 1 cos 30 o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( Αρνητικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του αρνητικού άξονα x (προς τα αριστερά) )
v 1y = v 1 sin 30 o = (30)(0.5) = 15 ( Θετικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του θετικού άξονα y (προς τα πάνω) )
v 2x = v 2 cos 30 o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( Θετικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του θετικού άξονα x (προς τα δεξιά ) )
v 2y = v 2 sin 30 o = (30)(0.5) = 15 ( Θετικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του θετικού άξονα y (προς τα πάνω). )
v 3x = v 3 cos 0 o = (40)(1) = 40 ( Θετικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του θετικού άξονα x (προς τα δεξιά). )
v 3y = v 3 sin 0 o = (40)(0) = 0
Τα στοιχεία των προκύπτοντων διανυσμάτων:
v x = – v 1x + v 2x + v 3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40
v y = v 1y + v 2y + v 3y = 15 + 15 = 30
Το προκύπτον διάνυσμα:
4. Ποια είναι η συνισταμένη τριών διανυσμάτων όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα;
Γνωστό:
F1 = 3 Νιούτον, κάνει 60o γύρω από τον θετικό άξονα x
F 2 = 3 Νιούτον, κάνει 0 o γύρω από τον αρνητικό άξονα x
F 3 = 6 Newtons , σχηματίζει 60 ° γύρω από τον αρνητικό άξονα y
Ζητείται: Το προκύπτον διάνυσμα
Λύση:
Τα συστατικά των διανυσμάτων:
F 1x = F 1 cos 60 o = (3)(0.5) = 1.5 N ( Θετικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του θετικού άξονα x (προς τα δεξιά ) )
F 1y = F 1 sin 60 o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( Θετικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του θετικού άξονα y (προς τα πάνω) )
F 2x = F 2 cos 0 o = (3)(1) = -3 N ( Αρνητικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του αρνητικού άξονα x (προς τα αριστερά) )
F 2y = F 2 sin 0 o = (3)(0) = 0
F 3x = F 3 cos 60 o = (6)(0.5) = 3 N ( Θετικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του θετικού άξονα x (προς τα δεξιά ) )
F 3y = F 3 sin 60 o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( Αρνητικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του αρνητικού άξονα y (προς τα κάτω ) )
Τα στοιχεία των προκύπτοντων διανυσμάτων:
ΣF x = F 1x – F 2x + F 3x = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N
ΣF y = F 1y + F 2y – F 3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N
Το προκύπτον διάνυσμα:
5. Δύο δυνάμεις, F1 = 15 N και F2 = 9 N. Η γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων είναι 60°. Ποια είναι η συνισταμένη των διανυσμάτων ;
Ζητούνται:
Δύναμη 1 (F1 ) = 15 Νιούτον
Δύναμη 2 (F2 ) = 9 Νιούτον
Γωνία ( θ) = 60 °
Ζητείται: Το προκύπτον διάνυσμα
Λύση:
6. Ποια είναι η συνισταμένη τριών διανυσμάτων όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα;
Γνωστό:
F1 = 20 Newton, γωνία μεταξύ F1 και άξονας x = 0
F2 = 20 Newtons, γωνία μεταξύ F2 και άξονα x = 60
F3 = 24 Newtons, γωνία μεταξύ F3 και άξονα x = 60
Ζητείται: Το προκύπτον διάνυσμα
Λύση:
Τα συστατικά των διανυσμάτων:
F 1x = (F 1 )(cos 0) = (20)(1) = 20. Θετικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του θετικού άξονα x (προς τα δεξιά )
F 1y = (F 1 )(sin 0) = (20)(0) = 0
F 2x = (F 2 )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. Αρνητικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του αρνητικού άξονα x (προς τα αριστερά)
F 2y = (F 2 )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. Θετικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του θετικού άξονα y (προς τα πάνω)
F 3x = (F 3 )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. Αρνητικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του αρνητικού άξονα x (προς τα αριστερά)
F 3y = (F 3 )(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. Το N είναι αρνητικό επειδή αυτή η διανυσματική συνιστώσα δείχνει κατά μήκος του αρνητικού άξονα y (προς τα κάτω )
Τα στοιχεία των προκύπτοντων διανυσμάτων:
Fx = F 1x – F 2x – F 3x = 20 – 10 – 12 = -2
F y = F 1y + F 2y – F 3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3
Το προκύπτον διάνυσμα:
