Διάνυσμα – προβλήματα και λύσεις

Διάνυσμα – προβλήματα και λύσεις

Διάνυσμα και Βαθμωτό

1. Μεταξύ των ακόλουθων επιλογών, οι οποίες είναι ζεύγη βαθμωτού-διανύσματος…

Α. Δύναμη – επιτάχυνση

B. Πίεση – δύναμη

C. Εκτόπισμα – ταχύτητα

Δ. Ηλεκτρικό ρεύμα – πίεση

Λύση:

Δύναμη = διάνυσμα, επιτάχυνση = διάνυσμα

Πίεση = βαθμωτή, δύναμη = διάνυσμα

Μετατόπιση = διάνυσμα, ταχύτητα = βαθμωτή

Ηλεκτρικό ρεύμα = βαθμωτό, πίεση = βαθμωτό

Η σωστή απάντηση είναι η Β.

2.

Η σωστή απάντηση φαίνεται από τον αριθμό...

Α. 1 και 4

Β. 1 και 2

Γ. 2 και 3

Δ. 3 και 4

Λύση:

Ταχύτητα = βαθμωτή

Μετατόπιση = διάνυσμα

Βάρος = διάνυσμα

Επιτάχυνση = διάνυσμα

Η σωστή απάντηση είναι Γ.

Στοιχεία διανυσμάτων

3. Δύο διανύσματα, F₁ = 20 Β και Φ₂ = 30 N, έχουν κατεύθυνση όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Προσδιορίστε τη συνισταμένη των συνιστωσών των διανυσμάτων στον άξονα x και στον άξονα y.

Α. 5√3 N και -25 N

Β. -5√3 N και 25 N

Γ. 25 N και 5√3 N

Δ. 30 N και 25√3 N

Γνωστό:

F₁ = 20 Νιούτον

Γωνία μεταξύ F₁ και άξονας x = 30^o

F₂ = 30 Νιούτον

Γωνία μεταξύ F₂ και άξονας x = 30^o

Ζητούνται: F_x και ΣΤ_y

Λύση:

F_1x = ΣΤ₁ cos 30^o = (20)(0.5√3) = 10√3 Νιούτον (το σύμβολο συν επειδή δείχνει στον άξονα +x)

F_1y = ΣΤ₁ αμαρτία 30^o = (20)(0.5) = 10 Newtons (σύμβολο συν επειδή δείχνουν στον άξονα +y)

F_2x = ΣΤ₂ cos 30^o = (30)(0.5√3) = -15√3 Newton (πρόσημο μείον επειδή δείχνει στον άξονα -x)

F_2y = ΣΤ₂ αμαρτία 30^o = (30)(0.5) = 15 Newtons (το σύμβολο συν επειδή δείχνει στον άξονα +y)

Η συνισταμένη της συνιστώσας x:

F_x = ΣΤ_1x + F_2x = 10√3 N – 15√3 N = -5√3 Νιούτον

Η συνισταμένη της συνιστώσας y:

F_y = ΣΤ_1y + F_2y = 10 Ν + 15 Ν = 25 Νιούτον

Η σωστή απάντηση είναι η Β.

Η συνισταμένη δύο διανυσμάτων

4. Δύο παιδιά Α και Β σπρώχνουν ένα τουβλάκι. Αν ο Α σπρώξει το τουβλάκι προς τα νότια με δύναμη 400 N και ταυτόχρονα ο Β σπρώξει το τουβλάκι προς τα ανατολικά με δύναμη 300 N, τότε προσδιορίστε τη συνισταμένη των δυνάμεων Α και Β.

Α. 100 Β νότια

Β. 100 Β ανατολικά

Γ. 500 Β νοτιοανατολικά

Δ. 700 Β νοτιοανατολικά

Γνωστό:

U = βόρεια, T = ανατολικά, S = νότια, B = δυτικά

TL = βορειοανατολικά, TG = νοτιοανατολικά, BD = νοτιοδυτικά, BL = βορειοδυτικά

A = 400 Νιούτον προς τα νότια

B = 300 Νιούτον προς τα ανατολικά

Καταζητούμενος: μέγεθος και κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης (R)

Λύση:

Η σωστή απάντηση είναι Γ.

Η συνισταμένη του διανύσματος της μετατόπισης

5. μικρόκάποιος που οδηγεί μοτοσικλέτα από το σπίτι 6 χλμ. προς τα βόρεια τότε 8 χλμ. ανατολικά. Προσδιορίστε την τελική θέση του ατόμου από την αρχική θέση.

Α. 14 χλμ. βορειοανατολικά

Β. 14 χλμ. νοτιοδυτικά

Γ. 10 χλμ. βορειοανατολικά

Δ. 10 χλμ. βορειοδυτικά

Γνωστό:

Καταζητούμενος: μέγεθος και κατεύθυνση της προκύπτουσας μετατόπισης

Λύση:

Η σωστή απάντηση είναι Γ.

6.

Με βάση το παραπάνω σχήμα, αν 1 τετράγωνο αντιπροσωπεύει 1 km, τότε ποια είναι η συνολική μετατόπιση;

Λύση:

Απόσταση = A + B + C = 6 + 6 + 2 = 14 χλμ.

Μετατόπιση = R = 12 χλμ.

7. Ένα αυτοκίνητο ταξιδεύει από το σημείο Α στο σημείο Β κατά μήκος 30 χλμ. βόρεια, έπειτα 60 χλμ. ανατολικά και έπειτα 110 χλμ. νότια. Προσδιορίστε την μετατόπιση του αυτοκινήτου από το σημείο Α στο σημείο Δ.

Λύση:

ΑΑ' = 60 χλμ.

A'D = 110 km – 30 km = 80 km

8. Ένα αυτοκίνητο ταξιδεύει από την πόλη Α στην πόλη Β 100 χλμ βόρεια, έπειτα στην πόλη Γ 60 χλμ ανατολικά και έπειτα στην πόλη Δ 20 χλμ νότια. Προσδιορίστε την μετατόπιση του αυτοκινήτου.

Λύση:

D'D = 60 χλμ.

AD' = 100 km – 20 km = 80 km

1. Τι είναι ένα διάνυσμα;
   • Απάντηση: Ένα διάνυσμα είναι μια ποσότητα που έχει τόσο μέγεθος (μέγεθος) όσο και κατεύθυνση. Παραδείγματα περιλαμβάνουν την ταχύτητα, τη δύναμη και την επιτάχυνση.
2. Πώς διαφέρει ένα διάνυσμα από ένα βαθμωτό;
   • Απάντηση: Ένα βαθμωτό έχει μόνο μέγεθος, ενώ ένα διάνυσμα έχει και μέγεθος και κατεύθυνση. Για παράδειγμα, η θερμοκρασία είναι βαθμωτό επειδή έχει μια τιμή αλλά όχι κατεύθυνση, ενώ η ταχύτητα είναι διάνυσμα επειδή υποδεικνύει ταχύτητα (μέγεθος) σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση.
3. Πώς μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά ένα διάνυσμα;
   • Απάντηση: Ένα διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά με ένα βέλος. Το μήκος του βέλους αντιπροσωπεύει το μέγεθος του διανύσματος και η κατεύθυνση του βέλους υποδεικνύει την κατεύθυνση του διανύσματος.
4. Ποια είναι η σημασία της ουράς και της κεφαλής ενός διανύσματος;
   • Απάντηση: Η ουρά είναι το σημείο εκκίνησης του διανύσματος και η κεφαλή (ή η άκρη) είναι το σημείο τερματισμού. Όταν εκτελούνται πράξεις όπως η πρόσθεση διανυσμάτων, η ουρά του ενός διανύσματος τοποθετείται στην κεφαλή του άλλου.
5. Πώς προστίθενται τα διανύσματα;
   • Απάντηση: Τα διανύσματα προστίθενται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο «κεφαλή προς ουρά». Η ουρά του δεύτερου διανύσματος τοποθετείται στην κορυφή του πρώτου. Το προκύπτον διάνυσμα στη συνέχεια σχεδιάζεται από την ουρά του πρώτου διανύσματος στην κορυφή του δεύτερου διανύσματος.
6. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός μοναδιαίου διανύσματος και ενός μηδενικού διανύσματος;
   • Απάντηση: Ένα μοναδιαίο διάνυσμα έχει μέγεθος ένα και δείχνει προς μια καθορισμένη κατεύθυνση. Χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει την κατεύθυνση ενός διανύσματος ανεξάρτητα από το μέγεθός του. Ένα μηδενικό (ή μηδενικό) διάνυσμα δεν έχει μέγεθος και δεν έχει συγκεκριμένη κατεύθυνση.
7. Πώς μπορεί ένα διάνυσμα να πολλαπλασιαστεί με μια βαθμωτή τιμή;
   • Απάντηση: Ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με ένα βαθμωτό μέγεθος αλλάζει το μέγεθός του αλλά όχι την κατεύθυνσή του. Εάν το βαθμωτό μέγεθος είναι θετικό, η κατεύθυνση παραμένει η ίδια. Εάν είναι αρνητικό, η κατεύθυνση αντιστρέφεται.
8. Τι σημαίνει ότι δύο διανύσματα είναι ορθογώνια ή κάθετα;
   • Απάντηση: Δύο διανύσματα είναι ορθογώνια ή κάθετα αν η γωνία μεταξύ τους είναι 90 μοίρες. Το εσωτερικό γινόμενο τους θα είναι μηδέν.
9. Πώς προσδιορίζεται η συνισταμένη δύο διανυσμάτων;
   • Απάντηση: Η συνισταμένη είναι το άθροισμα των δύο διανυσμάτων. Γραφικά, όταν τα διανύσματα αναπαρίστανται ως βέλη, μπορείτε να βρείτε τη συνισταμένη τοποθετώντας την ουρά του δεύτερου διανύσματος στην κορυφή του πρώτου και σχεδιάζοντας ένα νέο βέλος (τη συνισταμένη) από την ουρά του πρώτου διανύσματος στην κορυφή του δεύτερου.
10. Αν ένα διάνυσμα δείχνει ακριβώς ανατολικά με μέγεθος 10 μονάδων, πώς θα περιγράφατε το αντίθετό του;

• Απάντηση: Το αντίθετο αυτού του διανύσματος θα είχε το ίδιο μέγεθος (10 μονάδες) αλλά θα έδειχνε προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή, κατευθείαν δυτικά.